吉布斯现象（Gibbs Phenomenon）的数学定义与证明
吉布斯现象（Gibbs Phenomenon）的数学定义与证明
吉布斯现象（Gibbs Phenomenon）最早由Henry Wilbraham于1848年提出，并由约西亚·吉布斯于1899年证明。它描述了在用有限项傅里叶级数逼近具有不连续点的周期信号时出现的一种特殊现象。
吉布斯现象的定义与特征
当一个周期函数在不连续点附近被其傅里叶级数的部分和近似时，近似值会在不连续点处产生过冲（overshoot）和欠冲（undershoot）。具体来说：
- 过冲：在不连续点附近，会出现一个固定的过冲量，大约为总跳变幅度的9%左右，这不会随着增加更多的傅里叶级数项而消失。
- 振铃：除了过冲外，还会看到围绕不连续点的一系列振荡，这些振荡会随着时间远离不连续点而逐渐衰减。
数学证明与分析
为了更好地理解吉布斯现象，我们以一个周期性的方波信号为例进行分析。假设有一个周期为(2L)的方波函数(f(t))，在一个周期内的定义如下：
[f(t) = \begin{cases}
A, & -L < t < 0 \
-A, & 0 < t < L
\end{cases}]
其中(A)是方波的振幅。该方波的傅里叶级数展开为：
[f(t) = \frac{4A}{\pi}\left(\sin\left(\frac{\pi t}{L}\right) + \frac{1}{3}\sin\left(3\frac{\pi t}{L}\right) + \frac{1}{5}\sin\left(5\frac{\pi t}{L}\right) + \cdots \right)]
这是一个只包含奇次谐波的正弦级数，因为方波是奇函数。
对于任意有限个数(N)的傅里叶级数部分和(S_N(t))，可以表示为：
[S_N(t) = \frac{4A}{\pi}\sum_{n=1,3,5,...}^{N} \frac{1}{n}\sin\left(n\frac{\pi t}{L}\right)]
当我们在不连续点附近考察(S_N(t))，即(t)接近于0或(L)时，会发现随着(N)的增加，(S_N(t))在不连续点附近的振荡变得更加复杂，但过冲量趋于稳定，不会随(N)增加而减少。
过冲量的计算
吉布斯现象的一个关键特性是，在不连续点处的最大过冲量大约是原始跳跃幅度的9%左右。这个结果可以通过积分来严格证明。对于方波，跳跃幅度为(2A)，因此过冲量约为(0.09 \times 2A = 0.18A)。
考虑在(t = 0)处的过冲情况，使用傅里叶级数的性质，我们知道在不连续点附近，(S_N(t))可以用积分形式表示：
[S_N(t) = \frac{2A}{\pi}\int_0^{\pi N/L} \frac{\sin x}{x} dx]
这里(x = n\pi t / L)。根据积分的性质，特别是sinc函数的积分，我们知道：
[\lim_{N \to \infty} \int_0^{\pi N/L} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2}]
这意味着在极限情况下，(S_N(t))将达到最大值(A)的位置超过实际值，具体地：
[S_N(t) \approx A \left(1 + \frac{0.18}{\pi/2}\right) = A (1 + 0.18 \times \frac{2}{\pi}) \approx 1.0896A]
因此，过冲量大约为(0.0896A)或者说是原跳跃幅度(2A)的约9%。
结论
通过上述推导，我们可以看到即使当我们增加了更多的傅里叶级数项，过冲量仍然保持不变，这就是吉布斯现象的本质。这种现象表明了傅里叶级数在逼近具有不连续性的函数时所固有的局限性。
Fourier series