欧拉公式的直观推导
欧拉公式的直观推导
欧拉公式的推导
文章目录
- 欧拉公式的推导
- 自然数的推导
- 数轴
- 虚数i的推导
- 复数相乘深层推导
- 模长相乘推导
- 拉格朗日恒等式
- 柯西不等式
- 幅角相加推导
- 和角公式
- 复平面的几何性质
- i² = -1的一些思考——是客观规律而非主观定义
- 指数常数e的推导
- 场景引入
- e^(ix)的理解
- π的引入
- 公式推导（导数思路）（还是泰勒合理）
e^(iπ) + 1 = 0
e^(ix) = cosx + isinx
自然数的推导
0
无，不存在，没有
1
作为基本单位
0+1+1+1得到整数，构成最自然的整数
数轴
基本的四则运算
虚数i的推导
拓展一维实数轴
x² + 1 = 0
x = i
i² = -1
复数相乘深层推导
长度的平方为两个复数各自长度的平方和相乘
幅角的和为两个复数的角度相加
模长相乘推导
a + bi
c + di
相乘展开得到
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
|a + bi||c + di| = |(ac - bd) + (ad + bc)i|
长度的平方为两个复数各自长度的平方和相乘
拉格朗日恒等式
(ac - bd)² + (ad + bc)²
= a²b² + b²d² + a²d² + b²c²
= (a² + b²)(c² + d²)
柯西不等式
(ac - bd)² + (ad + bc)²
= a²c² + b²d² - 2abcd + a²d² + b²c² + 2adcd
= a²c² + b²d² - 2abcd + (ad + bc)²
= (a² + b²)(c² + d²)
扔掉实数部分
(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ad + bc)²
幅角相加推导
将复数写为基底形式
z1 = r1(cosα + sinαi)
z2 = r2(cosβ + sinβi)
z1z2 = r1r2(cosα + sinαi)(cosβ + sinβi)
和角公式
z1z2 = r1r2(cosα + sinαi)(cosβ + sinβi)
= r1r2(cos(α + β) + sin(α + β)i)
但是这里使用和角公式并不合理，应当是在此处有证明推导出和角公式，而不是直接使用
复平面的几何性质
i² = -1
u = a + bi
iu = ai + bi²
$ =-b+ai$
可以看到乘以i这里将原来的向量逆时针转的90度
i² = -1的一些思考——是客观规律而非主观定义
这其实是i² = -1隐藏于向量所栖身的坐标系的规则之中，是对坐标系中的旋转变换的一种抽象描述。
当我们定义向量的时候，a为x前进的距离，b为y轴上前进的距离。
乘i后，逆时针旋转了90度，本质上应该是我们定义了x轴与y轴正交，而i与y建立相应的关系。
如果将y轴换成i轴，将x轴换成实数轴，并规定i与实数间可以相乘、i乘以i等于-1的话，那么有趣的事情就出现了。
因为实数方向（原来x轴方向）上的矢量分量乘以i会变成i轴（原来y轴）上的分量，而原来i轴方向的分量乘以i则会重新回到实数轴方向（但是反向）。具体点就是，实轴正向分量乘以i就会变成i轴正向分量，i轴正向分量乘以i则会变成实轴负向，实轴负向变成i轴负向，i轴负向变成实轴正向，这正好就是逆时针旋转90度，乘以i相当于这个旋转。
指数常数e的推导
e = lim(n→∞) (1 + 1/n)^n
(e^x)' = e^x
场景引入
年利率为100%
一年内重复存取n次，每过1/n的时间就存取，每次本金变为1+1/n。
但是最后本金不会变为无穷大，趋近于一个常数2.718…（e）。
这里面其实体现了e^x函数的增长速度（导数）正比于函数值本身，即(e^x)' = e^x。
e^(ix)的理解
设f(x) = e^(ix)
f(x)' = (e^(ix))' = (e^(ix))(i) = ie^(ix)
= if(x)
则f(x) = e^(ix)的运动规律是，其速度（导数）永远垂直与和原点的连线。
这是什么运动？
太妙了，（洛伦兹力）圆周运动！！！！！。
x代表了前进长度为x的圆弧
简单点就是s = vt
1 * x = x
这里就能得到
e^(ix) = cosx + isinx
π的引入
e^(iπ) = -1
e^(iπ) + 1 = 0
公式推导（导数思路）（还是泰勒合理）
e^x的导数为e^x，sinx导数cosx,cosx导数-sinx。
sinx求导4次变为sinx，cosx求导4次变为cosx。
有没有办法让sinx与cosx组合获得e^x的性质。
假设e^(abx) = asinx + bcosx，其实这里就很无语 ，太粗暴无理了。
求导后有abe^(abx) = acosx - bsinx
再次求导(ab)^2e^(abx) = -asinx - bcosx
因为e^(abx) = asinx + bcosx
所以存在(ab)^2 = -1
设i = ab,则a = i/b, b = i/a
有e^(ix) = i/b sinx + i/a cosx,设a=i,b=1，就得到了欧拉公式。