欧拉公式——从旋转和螺旋线的角度再看
欧拉公式——从旋转和螺旋线的角度再看
欧拉公式是数学中最令人惊叹的公式之一，它将自然对数的底数e、虚数单位i、圆周率π以及1和0这些看似毫不相关的数学常数巧妙地联系在一起。本文将从复数的发展历史出发，通过直观的图形解释，带你领略欧拉公式的数学之美。
一、复数的修仙之路
在引入欧拉公式之前，我们先思考这样一个问题：为什么会有复数呢？
在数学学习的过程中，复数往往给人一种突然出现的感觉。在高中阶段，复数常常出现在数学课本和试卷中，而且通常作为简单题出现。然而，到了大学阶段，特别是在学习电磁场和信号与系统等学科时，复数的重要性就凸显出来了。
其实，复数的概念早在初中阶段就已经有所涉及。在求解一元二次方程时，我们通过判别式（b^2-4ac）来判断方程是否有实数根。当根号里面出现负数时，老师通常会说这种情况无实数解。但为什么负数不能开方呢？这个问题在当时可能并没有得到很好的解答。
直到16世纪，意大利数学家拉斐尔·邦贝利首次提出，有时候需要负数的平方根才能找到真正的解。半个世纪后，笛卡尔进一步发展了这一思想，提出了“不真的、想象的”根的概念。随后，亚伯拉罕·棣莫弗给出了著名的棣莫弗公式：
[cosx+isinx]^n=cosnx+isinnx
天才数学家欧拉则用更简洁的公式统一了这些发现：
e^(ix)=(cos x+isin x)
特别地，当x=π时，得到：
e^(iπ)=-1
或：e^(iπ)+1=0
尽管欧拉大量使用复数，但并没有解决它们实际上是什么的问题。直到19世纪，复数的概念才逐渐清晰。罗贝尔·阿尔冈在自己的著作中提出用平面几何方法来理解虚数，而高斯则正式提出了“复数”的概念，并指出其包含实部和虚部。随后，哈密尔顿证明了复数可以与平面中的有序数对对应，柯西、高斯等人设计了复数微积分，使其成为数学中的重要工具。
二、欧拉公式的图形之美
让我们从一个简单的数轴开始。假设数轴上有一个长度为1的红色线段。当它乘以3时，长度变为蓝色线段；当它乘以-1时，线段旋转180度，变成绿色线段。我们知道乘以-1相当于乘以两次i，使线段旋转180度，那么乘以一次i呢？答案很简单：旋转90度。
通过这个过程，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了复数平面，也称阿尔冈复平面。这表明乘虚数i的一个重要功能是旋转。
欧拉公式的关键作用是将正弦波统一为简单的指数形式。让我们看看它的图像含义：
欧拉公式描绘的是一个在复平面上随时间变化做圆周运动的点。如果只看它的实数部分，就是一个最基础的余弦函数；看虚数部分，则是一个正弦函数。
此外，欧拉公式还有另一种表现形式：
我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而cos(t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。