贝叶斯公式：如何用数据更新直觉？

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贝叶斯公式：如何用数据更新直觉？

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生活中总有需要做判断的时刻：是该相信自己的直觉，还是跟着数据走？比如，医生拿到一份阳性检测报告，该立刻断定检查者生病了吗？或者天气预报说下雨概率30%，出门要不要带伞？

一个200多年前的数学方法，早就告诉了我们答案：这两个选择并不需要二选一，用数据更新直觉，让理性与经验共同决策。这就是我们今天要学习的贝叶斯公式。

1 贝叶斯公式

定理（贝叶斯公式）.设
、
是样本空间
上的两个事件，若
，则有：

证明 . 由条件概率的定义
，及乘法公式
，有：

贝叶斯公式是概率论中最著名的公式之一，它揭示了人类认知的两大特征：

基本比率谬误（Base rate fallacy）：人们往往被刻板印象左右，忽略了基本比率，从而产生认知偏差
认知迭代：通过新信息不断修正、更新已有认知的思维过程

下面将通过一个典型案例，来阐释贝叶斯公式所揭示的人类认知特征。

2 贝叶斯公式的典型案例

例 .诺贝尔经济学奖得主丹尼尔·卡尼曼（Daniel Kahneman）在其著作《思考，快与慢》（英文名《Thinking, Fast and Slow》，见图 1 ）中讲到了这样一个有趣的案例：当你见到图 2 中的女士时，你认为她更可能是大学教授，还是公司职员？

解 .

（1）基本比率谬误

图 2 中的女士身处图书馆，外表知性，从容文雅，符合我们对"大学教授"的刻板印象。因此，多数人会直觉地判断她是一位教授。然而，丹尼尔·卡尼曼指出，教授在总人口中的占比（基本比率）远小于公司职员。从概率上讲，我们更可能遇到一名公司职员，从而这位女士更可能是公司职员。这就是基本比率谬误：人们往往被刻板印象左右，忽略了基本比率，从而产生认知偏差。

丹尼尔·卡尼曼的解释可以转化为精确的数学表达。首先，让我们定义三个关键事件：

图3 的韦恩图展示了事件
和
的关系。为了说明大学教授的基本比率很小，我们假设
中有8个样本点，
中有160个样本点，那么样本空间
总共有168个样本点。

由于在刻板印象中，大学教授更容易有着“知性、文雅的外表”。因此设定
的大学教授具有这一特征，同时设定仅
的公司职员具有这一特征。这些有着“知性、文雅的外表”的个体在图 4 中以高亮图标表示，它们共同构成事件
。显然事件
中有24个样本点。

完成上述设定后，让我们通过贝叶斯公式来揭示基本比率谬误。首先对贝叶斯公式进行改写：

上式中的每一项都有着明确的意义，让我们从右到左逐项解释：

刻板印象：这是在大学教授条件下，拥有“知性外表”的概率。由于在刻板印象中，大学教授更容易具有这一特征，因此上面设定
基本比率：这是大学教授在总人群中的概率与"知性外表"在总人群中的概率之比。该比值从侧面反映了大学教授的基本比率，由于大学教授在总人群中的概率很小，这个比值自然也很小。根据上面的设定，有
理性判断：这是在“知性外表”条件下，某人是大学教授的概率。贝叶斯公式指出，要避免基本比率谬误，理性地计算出这个概率，需要综合刻板印象和基本比率，即：

同样的，可以计算出在“知性外表”条件下，某人是公司职员的概率：

上述计算结果表明，由于大学教授的基本比率很小，图 2 中的知性女士是大学老师的概率（
）远远小于是公司职员的概率（
）。

（2）认知迭代

可以换个角度来审视丹尼尔·卡尼曼提出的案例。一开始面对“某人是否为大学教授”的问题时，我们能依据的只有大学教授在总人口中的概率
。但看到图 2 后，新的信息
“知性、文雅的外表”出现了，我们的认知立即重构，如图 5 所示。

为了更精确地表达这一认知迭代过程，让我们对贝叶斯公式再次进行改写：

上式中的每一项都有着明确的意义，让我们从右到左逐项解释：

先验概率：这是大学教授在总人群中的概率。这是未经后续新信息修正的概率，或者说这是先于经验（“经验”在哲学中有着特殊含义，在这里可以简单理解为“新信息”）的概率，所以称其为先验概率（Prior probability）。这里的设定是
证据强度：这是大学教授中“知性外表”与总体中“知性外表”的概率之比。根据设定，有：
由于在大学教授中具有“知性外表”的概率远高于总体人群（中具有“知性外表”的概率），因此计算结果大于1。这说明该信息可以作为判断某人是否为“大学教授”的有力证据
后验概率：这是在“知性外表”条件下，某人是大学教授的概率。这是被后续新信息修正过的概率，或者说这是后于经验的概率，所以称其为后验概率（Posterior probability）。贝叶斯公式指出，先验概率经过新信息的修正，得到的就是后验概率（新的认知），即：
同样的，可以计算出新信息 ”知性、文雅的外表“出现后，某人是公司职员的后验概率：

上述计算结果表明，新信息B=“知性、文雅的外表”是对“大学教授”这一身份的有力证据，是对“公司职员”身份的削弱证据。因此，这一信息从不同程度上改变了对应的先验概率。