生活中的无限：从数学到物理的奇妙之旅

生活中的无限：从数学到物理的奇妙之旅

在数学中，"无限"是一个既神秘又迷人的概念。从数学到物理，从科学到哲学，"无限"无处不在。本文将带你走进"无限"的世界，探索这个看似简单却又深奥无比的概念。

在数学上，无限（infinite）或者无穷是一个重要的概念，但许多人对它的认识不是很清楚，或者不认同，因此在数学的学习上变得比较困难。

生活上的无限

在生活上，我们可能听到无期徒刑，它虽然是终身监禁的意思，但是它不是一直都要执行永无停止的制度，最多只到犯人老死为止，甚至被判处无期徒刑的犯人，在台湾，2005年以后在监狱中执行25年以上且达到一定的条件，就可以启动假释制度。因此从数学的角度看，无期徒刑不是“无期—没有期限”。

有人认为一个人的一生，头发的数量是无限的，因为掉了还会再长出来。可是从数学的角度，头发的数量还是有限，只是很多或者不容易数而已。因为当一个人离世以后，头发的数量便会终止生长，不会再增加。

因为无限是一种永远无法停止的概念，在生活中几乎看不到。即使是地球从生命的诞生到未来的毁灭，虽然要历时非常非常久，但是还是一一个有限的时间，因此人们在生活中很难感受到无限的概念。

数学上的无限

本文在此仅以0.9为例讨论有极限（limit）的无限问题和数系的个数有无限多个为例讨论无限大的问题。极限的概念是微积分的重要概念，不了解它，微积分便很难学得好。

一、0.9=1吗？

高中生都会学到0.3=1/3，且相信它是对的。因为可以用1除以3，一直除下去，永远无法停止，因此它是一个循环的无限小数问题。但是许多学生不相信0.9=1。作者曾经问过28位数理系一年级大学生，发现只有一半的学生认为0.9=1；46位大学幼教系和特教系一、二年级学生，只有五位（11%）认为0.9=1。其他都认为0.9<1，而且都说0.9只是趋近于1，还比1小一点点。认为0.9=1的学生都说明以前老师用下面的方法教他们证明过：

设x=0.9999...①
10x=9.999...②
②-①得
9x=9
所以x=1

从数学知识的角度剖析0.9=1的概念，发现它是一个极限的概念。我们可以造一个数列{an=0.99…9（有n个9）}，此时an=0.99…9。当我们解释an的极限问题时，也时常令x=0.9，0.99，0.999，…，来让学生感受x愈接近1时，x+1会愈来愈趋近于2。因此0.9是极限的概念却沒有极限的形式，所以它是一个很难理解的问题。在这边也要注意的是：n→∞，an→1表示它们只是趋近，但永远不会等于1，但是当我们用lim来写的时候，表示它的极限值真的会等于1，也就是

极限的概念是微积分的精神所在，却是一个很難了解的概念。在历史上，Zeno（公元前490~430）的悖论也困惑世人一段很长的时间。其中有关二分法悖论（Boyer，1949；Kline，1972；引自李肖梅，1993）是这样的：

某一跑步者做如下的推论。在跑步者到达终点之前必须先经过路程的中点。然后必须再跑到1/2处，它剩下路程的一半。而跑步者在跑完最后的1/4之前，必须跑到这段路的中点。因为这些中点是沒有止境的，因此，跑步者根本不能到达终点。

当时的数学家面对这个隐含无限概念的悖论无法释疑，直到十六世纪，极限的概念才建立完成。

极限的概念在中国也曾经被提及过。古代庄周在《庄子》一书中提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”三国时代刘徽利用“割圆术”计算圆面积时，也曾经说过：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆无所失矣。”这都是无限的概念。

为了让学生了解0.9的无限概念，作者用各种方法问学生。

1. 运用0.3×3

假如学生相信0.3=1/3，可以把它两面同时乘以3或者连加3次，此时0.3×3=1/3×3，便会得到0.9=1的结果。

2. 运用1÷1的除法

假如我们稍微放寬计算除法时，余数比除数小的规约，让余数可以等于除数，这时候会发现1=1÷1=0.9999…的结果。如下算式

3. 两相异数之间有无限多个数

作者还问学生，我们知道任何两个相异实数之间有无穷多个数，因为我们可以把这两个数相加再除以2，就找出它们的中点。假如0.9<1，那么找一个介于0.9和1之间的数就好。当学生发现他们找不到两者之间的数时，有学生反而怀疑数学上说的“任何两个相异实数之间有无穷多个数”是不是对的。因为在日常生活当中两个人或者两颗珠子并排，其中再也摆不进去一个人或一颗珠子的经验；我们把一条吐司用切一半的方式一直切下去，到后来会出现不能再切下去的直观经验。

4. 两相异数相减

作者再问学生，我们解答两数的大小问题时，时常利用两数相减来处理，因此请学生计算1-0.9，学生会察觉答案是0.000…（0永远写不完），所以0.9=1，但有部分学生的答案会是0.000…1（=0.01），即小数点后有“无限多个0”再一个1。但是“无限多个0”再一个1，与学生的事实认知“无限多个，就不可能有最后一个”相冲突。

在作者说明之后，大部分的学生相信0.9=1，但是仍然有一位学生说，“它是一个哲学的问题，信者恒信，不信者恒不信”。作者同意他的说法。

有一位学生在0.9<1与两相异数之间有无限多个数的冲突下，选择怀疑两相异数之间有无限多数，而相信0.9<1。同时说明0.01是紧邻0右邊的数，它们中间没有其他的数了。

有興趣的读者或许可以思考0.01的数是否真的存在？如何定义它的四则运算？运算的结果是否仍然符合数的体系？例如0.01+0.01=0.02。说不定反而可以创造出新的数学理论。

二、数系的个数一样无限多吗？

相信大家都同意自然数（N）的个数有无限多个，因为它们可以一直往左进位，永远写不完。相同的，整数（Z）、有理数（Q）、无理数（Q）、实数（R）的个数也都是无限多个。

在数学的发展史，有关无侷限的无限问题，希尔伯特的旅館悖论就是和自然数有无限多个有关的问题：

宇宙中有一个无限房间的旅館，每个房间都住满了客人。现在又來了一位客人要住进旅館，这时候旅館的老闆請住在1号房的客人搬到2号房，住在2号房的客人搬到3号房，…，住在N号房的客人搬到N+1号房。再请新來的客人住到1号房。这时候每一个人都还是有房间住。

数学家为了了解无限个数的概念或性质，从A、B两个元素个数是有限集合的性质，发现假如两个有限集合的元素个数相等，若且唯若可以找到一个函数f: A→B，同时f为一对一且映成的函数（也就是两个集合内的元素，可以一个对一个而且每一个都被对应到）。因为f为一对一函数时，保证A集合的个数小于或等于B集合的个数；f为映成函数时保证B集合的每个元素都被对应到，所以A集合的个数大于或等于B集合的个数，如下图一。两者同时成立，便可以保证A集合和B集合的个数相等。因此概念推广此一有限集合的性质，定义两个无限元素的集合，它们的个数相等若且唯若可以找到一个一对一且映成的函数。

图1. 一对一和映成函数示意圖

运用上述无限集合的定义，希尔伯特的旅館悖论问题得以解释，可以定义f : {0} ⋃ N→N，其中f（n）=n+1, n∈{0} ⋃ N。也就是0, 1, 2, 3, 4…分别对应到1, 2, 3, 4, 5…。此时很容易可以证得f为一对一且映成的函数。在微积分的概念上，这个问题可以想成是∞+1=∞。

同样的问题，直观来看，整数的个数比自然数的个数多了一倍（负整数）又多1个（0）。但是我们可以定义f : Z→N，其中

也就是…-2,-1, 0, 1, 2…分别对到4, 2, 1, 3, 5。此时也可以证得f为一对一且映成的函数。这个问题在微积分上可以想成2×∞+1=∞。

许多人会觉得有理数的个数比整数多很多，因为分子和分母都是整数。但我们可以找到一个函数f :Z→Q，且

f (0)=0

，其中 m, n∈N, mn≠0

负整数对应负分数的概念相同。

m+n=2且n=1时，

；

m+n=3且n=1, 2时，

；

m+n=4且n=1, 2, 3时，

；

…；

表1. 正整数和正有理数的多对一方式

此时可能有多个整数都可以对应到同一个有理数（等值分数），例如f (1)=f (5)=f (13)=1，但是每一个有理数都被整数对应到（映成函数），所以整数的个数比有理数的个数多或者相等。因此我们可以证得整数的个数和有理数一样多。这个问题在微积分上可以想成∞×∞=∞。

很特别的是，虽然同样有无限多个数，无理数的个数比整数的个数多太多了。它的证明需要使用到在数学上非常重要的矛盾证法。

假如存在一个一对一且映成的函数f :Z→Q，使得f (n)=Pn，其中Q={Pn|n∈Z}

现在令纯小数P=0.a1 a2 a3 …，

其中a1 是第一位小数且异于P1 的第一位小数，

a2 是第二位小数且异于P2 的第二位小数，

a3 第三位小数且异于P3 的第三位小数，

…。

此时，P是异于P1 ,P2 ,P3 ,…的无理数。所以假设不成立，也就是找不到一个一对一且映成的函数，因此无理数的个数比整数的个数多。

事实上，可以更直观的看，P1 , P2 , P3 , …的数列，Pi 的第i位小数只是0到9的其中一个数，因此异于Pi 的第i位小数还有9个，把所有的9个相乘，发现无理数的个数比有理数的个数多太多了。

在数学上，有一门测度论的学问，它告诉我们，把闭区间[0,1]的所有有理数形成一个点集合，再计算它的长度，结果长度为0。把[0,1]的所有无理数形成一个点集合，再计算它的长度，结果长度是1。可见无理数的个数比有理的个数多太多了。

边长为1的正方形面积，从积分的角度是可以把长度为1的线段（面积为0）从0积到1，变成面积为1的面积，也就是

，它主要的关键点也就出現在无理数的个数上。也就是把长度为1的线段（面积为0）从0积到1的有理数时，它的面积仍然为0；把长度为1的线段（面积为0）从0积到1的无理数时，它的面积为1。

所以数学家把自然数、整数、有理数的无限称为可数的无限，因为感觉上它是可以從1, 2, 3 , …一直数下去，而无理数、实数则为不可数的无限。

几何学上的无限

我们知道在坐标平面上，是可以无限延伸的，因此坐标平面是无限的概念。当我们用动态软件（例如GGB）画双曲线时，就会发现如下图二，例如双曲线

的参数式，

，当θ从0°走到90°时，双曲线会从（2, 0）走到右上方的无限区域（图二-1）；θ从90°走到180°时会从左下方的无限区域回到（-2, 0）（图二-2；θ从180°走到270°时，会从（-2, 0）走到左上方的无限区域（图二-3）；θ从270°走到360°时，再从右下方的无限区域走到（2, 0）（图二-4）。如此一直循环下去。

图2. 双曲线的动态轨迹图

物理学和天文学上的无限问题

从物理学的角度，标准模型假设无法再加以分割的物质粒子有两种，分别夸克和轻子（林肯，2018），因此任何一個物质经过分割到最后就会是夸克和轻子，不能再分割下去，不能像数学一样，任何两个相异数之间有无穷多个相异数。但是当我们能制造出很大的能量，足以把這個最小元素打破，就会形成更小的元素（欧洲核子研究组织CERN的大强子对撞机LHC正在加速运转，或许可以完成这项任务）。如此一直这样下去，会不会出现数学上的无中生有？

我们是生活在三度空间之中，大家都會问宇宙所在的空間到底是有限还是无限的？若是有限的空间，那么有限的空间之外又是什麼？一个永远无法跨越的铜墙铁壁吗？可能吗？若是宇宙是无限的那又是什麼情况？还是宇宙其实有限的，只是它像图三的莫比乌斯环（张瑞棋，2015）之类的3D模型，走了一段时间以后又会回到原来的地方（孤單旅行者，2017）？可是3D的莫比乌斯环有多大？之外的空间又是什麼？或许整个宇宙就是一种无限的概念。

图3. 莫比乌斯环

本文原文来自《科学研习》，作者李源顺，台北市立大学数学系教授。