高中物理三大宇宙速度的推导
高中物理三大宇宙速度的推导
高中物理必修二第七章万有引力与宇宙航行里面介绍了地球上的三大宇宙速度，那么什么是宇宙速度，它们的数值又是怎样得到的呢？今天我们从大家能看懂的角度（不涉及微积分）来推导一下它们的由来。
推导三大宇宙速度之前，我们先来看一下需要用到的一些相关数据。
1、地球半径：
2、地球质量：
3、太阳质量：
4、日地距离：
5、万有引力常量：
6、地球表面重力加速度：
第一宇宙速度（环绕速度）
第一宇宙速度是指物体紧贴地球表面做圆周运动的速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。
根据定义，直接由万有引力提供物体做匀速圆周运动所需的向心力：
从而得到：，再根据黄金代换式：，
解得：
需要注意的是，这个速度是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，也是实现航天器绕地球稳定运行的最小发射速度。如果航天器的发射速度低于这个值，它将无法维持稳定的轨道，最终会落回地球；如果速度稍高，但不足以达到第二宇宙速度，航天器将沿椭圆轨道绕地球运行。
这里解
这是因为最小发射速度发射出去就肯定是在最低轨道，相当于发射出去就绕地球表面转动了（注意不是在地表上随地球自转），地球表面发射，环绕地球表面，没有增加引力势能，发射的能量就转化为动能了。
根据万有引力提供向心力可知：轨道半径越高线速度越慢，所以这个最小的发射速度同时也是卫星的最大环绕速度。
以上分析均为理想情况，实际情况要复杂很多，不在高中物理的范畴之内。
第二宇宙速度（逃逸速度）
第二宇宙速度是指物体完全挣脱地球引力束缚，离开地球所需的最小发射速度。想要推导第二宇宙速度的数值，需要先介绍一下“引力势能”公式，两物体间的万有引力势能大小为：
需要注意，这里引力势能为负值，物体间距离越大，引力势能越大，当距离达到无穷时，引力势能最大，为0J。
故，当物体挣脱地球引力飞向距地球无穷远处时，物体动能和势能都为0J，根据机械能守恒定律，在地球上发射时动能和引力势能之和也应该为0J，即：
解得：
这里需要注意，我们在推导第二宇宙速度的时候，并没有考虑到地球自转的速度。而在下面推导第三宇宙速度的时候我们就把地球的公转速度考虑在内了。这是因为地球自转的最大线速度在赤道上也只有0.466km/s，可以忽略不计。
当航天器的速度达到或超过第二宇宙速度时，它将能够挣脱地球的引力场，进入深空。这个速度是从地球发射航天器前往其他行星或进行深空探测的基础。
拓展联想----黑洞
讲黑洞之前，插个题外话，先讲一下引力势能公式如何得到的？
力对距离积分做功，做功会导致能量的转化，因此力对距离积分会导致能量的变化。我们规定无穷远处的引力势能为0。假设一物体固定不动，将另一物体从无穷远处移动到距离为R处，用微积分求引力做功即可（引力是变力，故求功需用到微积分）。有时间的话下次可以推导一下引力势能的公式。
由以上理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的倍，即：
这个关系对于其他天体也是正确的。由此可知，天体的质量m越大，半径R越小，逃逸速度也就越大，也就是说，其表面的物体就越不容易脱离它的束缚。
于是，我们自然要想，会不会有这样的天体，它的质量更大、半径更小，逃逸速度更大，以的速度传播的光都不能逃逸？如果宇宙中真的存在这种天体，即使它确实在发光，光也不能进入太空，我们也根本看不到它，这种天体称为黑洞。
1799年，法国科学家拉普拉斯在对牛顿引力理论做过透彻研究后指出，对于一个质量为M的球状物体，当其半径R不大于时，即是一个黑洞。若太阳能收缩成黑洞，其半径应小于3km，而目前太阳的半径是其的25万倍。
关于黑洞，1784年英国学者米切尔也提过相似的见解。但是当时的人们只知道引力对普通物质的作用，还不知道引力是否也能吸引光。此外，他们的推测都是建立在牛顿引力理论的基础上，后来发现，当涉及强引力时，牛顿的引力公式并不可靠。故关于黑洞的论述在当时并未引起重视，直到1916年，爱因斯坦创立的广义相对论一举解决了上述的两个问题，关于黑洞的研究才正式引起科学界的关注。
第三宇宙速度（太阳系逃逸速度）
第三宇宙速度是指在地球上发射的物体挣脱太阳引力的束缚，飞出太阳系（飞到太阳系以外空间）所需的最小发射速度。
首先，我们考虑到地球的公转，发射航天器时的速度方向与地球公转的方向相同，这样可以极大的节约燃料。因此，要先求解地球绕太阳 的公转速度，即：
解得：
然后，我们不考虑地球的影响（或假设地球不存在），以太阳系为参考系，那么在地球附近的物体具有的机械能（动能与势能和）为：
若要使该物体挣脱太阳的引力，则应该满足，即：
解得：
注意，这里的相当于地球逃逸太阳的速度，（地球公转速度）为地球环绕太阳做匀速圆周运动的速度。上文中我们已经推导了逃逸速度是环绕速度的倍，这里再次得到了验证。
前文说过，我们在发射逃离太阳系的卫星时可以利用地球的公转速度，因此可以得到：
这个速度可以理解为是相对于地球的速度，即以地球为参考系的速度。当然，我们也可以不利用地球的公转（即发射卫星速度方向与地球公转方向不同），则所需的速度将会更大。
这里的是我们假设地球不存在的情况下求得的，实际情况下，考虑地球的影响，则发射速度还需克服地球引力的作用，即：
又因为：
（参见上文第二宇宙速度的推导）
联立两式可得：
上式可以理解为：发射的动能还需要附加一个物体从地球上逃逸的动能。或者不严谨的理解的话，可以简单的认为，卫星所需的发射动能相当于地球从太阳系逃逸后，卫星再从地球上逃逸。为什么说这种理解不严谨，因为这里涉及到一个相对速度和参考系的变化。
最终解得：
目前我们高中物理课本上的第三宇宙速度是在利用地球公转的情况下计算得出的，也就是文中提到的地球上卫星的发射速度的方向与地球公转的速度方向相同。若发射方向不同，则所需的速度将会更大。
以上就是关于第三宇宙速度的推导过程！
第四宇宙速度
是指在地球上发射的物体，挣脱银河系引力的束缚，飞出银河系所需的最小发射速度，大约为110--120km/s，由于人类对银河系所知甚少，银河系的质量以及半径等无法取值，故该数值目前还不能形成公论，人类目前还没能实现第四宇宙速度。
第五宇宙速度
从地球发射，飞出本星系群的最小速度。由于本星系群半径、质量均未有足够精确的数据，故无法估计数据大小。科学家估计大概有500万--1000万光年，照这样计算，应该需要1500--2250km/s的速度才能飞离，以目前的科技水平还无法达到这个速度。
第六宇宙速度
从地球发射，飞出该本超星系团的最小速度（我们所在的是室女座超星系团，目前可观测的宇宙中有数以百万计的超星系团），本超星系团的直径约在1-2亿光年之间，在不考虑能源消耗等一系列条件下，理论上需要接近光速才有可能飞离出去。
结束语
物理学得越多，越觉得未知世界的广阔无垠。坐在电脑前码着字，突然想到了某本书上的一段话，大致内容如下：
亚里士多德提出了一些错误观点，后来伽利略和牛顿进行了修正。接着，爱因斯坦打破了这一切。现在，我们基本上已经搞清楚了大部分物理定律，小尺度、大尺度、高温、低温、快速、重物、暗物质、湍流以及时间概念等。每次进行实验观察时，都像是上帝在掷骰子。我们低纬度的生物是否无法理解高纬度的物体呢？
杨振宁先生说：如果你所谓的上帝是一个人形状的，那我想没有；如果问有没有一个造物者，那我想是有的，因为整个世界的结构不是偶然的......
仰望浩瀚星空，略窥宇宙之大，转笑此身之小，蝇头蚁足的个人得失，都变得毫无意义。仰观宇宙之大，俯察品类之盛，或许正如苏子所言：江上清风、山间明月，吾与子之所共适。