挠度计算公式的基本推导

挠度计算公式的基本推导

挠度计算是工程设计中的一个重要环节，特别是在建筑和土木工程领域。准确的挠度计算能够确保结构的安全性和稳定性，避免因过度变形而引发的安全隐患。本文将详细介绍挠度计算公式的推导过程，帮助专业人士更好地理解和应用这一重要计算方法。

第一步：基本公式推导

1. 当荷载的力作用在跨中时，挠度的计算方式是：
   [f_{max}=\frac{P \cdot L^3}{48 \cdot E \cdot I}]

2. 当荷载作用在任意一点时，挠度的计算方式：
   [f_{max}=\frac{P \cdot L_1 \cdot L_2 (L+L_2) \cdot [3 \cdot L_1 \cdot (L+L_2)]^{1/2}}{27 \cdot E \cdot I \cdot L}]

这两种情况的分析表明，当荷载作用在任意一点时（包括中点），上述第二种情况的公式会包含第一种情况的特例（即L1=L2=L/2的情况）。我们可以通过代入L1=L2=L/2来验证这一点：

[
\begin{aligned}
f_{max} &= \frac{P \cdot L_1 \cdot L_2 (L+L_2) \cdot [3 \cdot L_1 \cdot (L+L_2)]^{1/2}}{27 \cdot E \cdot I \cdot L} \
&= \frac{P \cdot \frac{L}{2} \cdot \frac{L}{2} \left(L+\frac{L}{2}\right) \cdot \left[3 \cdot \frac{L}{2} \cdot \left(L+\frac{L}{2}\right)\right]^{1/2}}{27 \cdot E \cdot I \cdot L} \
&= \frac{P \cdot \frac{L^2}{4} \cdot \left(\frac{3L}{2}\right) \cdot \left[\frac{9L^2}{4}\right]^{1/2}}{27 \cdot E \cdot I \cdot L} \
&= \frac{P \cdot \left(\frac{3L^2}{8}\right) \cdot \left(\frac{3L}{2}\right)}{27 \cdot E \cdot I} \
&= \frac{P \cdot \left(\frac{9L^3}{16}\right)}{27 \cdot E \cdot I} \
&= \frac{P \cdot L^3}{48 \cdot E \cdot I}
\end{aligned}
]

这验证了上述思想的正确性。

第二步：简支梁挠度的推导过程

我们以简支梁为例，将其分为两段进行分析：

对于梁的左段（0≤X1≤L1），其弯矩方程可以表示为：
[M_{x1}=\left(\frac{P \cdot L_2}{L}\right) \cdot X]

设f1为梁左段的挠度，则由材料力学：
[E \cdot I \cdot \frac{d^2f_1}{dx^2}=\left(\frac{P \cdot L_2}{L}\right) \cdot X]

积分得：
[E \cdot I \cdot \frac{df_1}{dx}=\frac{P \cdot L_2}{L} \cdot \frac{X^2}{2}+C_1 \quad \text{(1)}]

二次积分：
[E \cdot I \cdot f_1=\frac{P \cdot L_2}{L} \cdot \frac{X^3}{6}+C_1X+D_1 \quad \text{(2)}]

由于X1等于零时，简支梁的挠度f1等于零（边界条件），将X1=0代入(2)得D1=0。

对于梁的右段（L1≤X2≤L），其弯矩方程可以表示为：
[M_{X2}=\left(\frac{P \cdot L_2}{L}\right) \cdot X-P \cdot (X-L_1)]

设f2为梁右段的挠度，则由材料力学：
[E \cdot I \cdot \frac{d^2f_2}{dx^2}=\left(\frac{P \cdot L_2}{L}\right) \cdot X-P \cdot (X-L_1)]

积分得：
[E \cdot I \cdot \frac{df_2}{dx}=\frac{P \cdot L_2}{L} \cdot \frac{X^2}{2}-\frac{P \cdot (X-L_1)^2}{2}+C_2 \quad \text{(3)}]

二次积分：
[E \cdot I \cdot f_2=\frac{P \cdot L_2}{L} \cdot \frac{X^3}{6}-\frac{P \cdot (X-L_1)^3}{6}+C_2X+D_2 \quad \text{(4)}]

将左右段连接，则可以得到以下条件：

1. 在X=0处，f1=0；
2. 在X=L1处，f1'=f2'（f1'、f2'为挠曲线的倾角）；
3. 在X=L1处，f1=f2；
4. 在X=L处，f2=0；

由以上四条件求得（过程略）：
[C_1=C_2=-\left(\frac{P \cdot L_2}{6L}\right) \cdot (L_2-L_2^2)；D_1=D_2=0]

代入公式(1)、(2)、(3)、(4)整理即得：
对于左段 0≤X≤L1：
[E \cdot I \cdot \frac{df_1}{dx}=\frac{P \cdot L_2}{L} \cdot \frac{X^2}{2}+C_1 \quad \text{(1)}]
[= \frac{P \cdot L_2}{6L} \cdot \left[3X^2-(L_2-L_2^2)\right] \quad \text{(5)}]

[E \cdot I \cdot f_1=\frac{P \cdot L_2}{L} \cdot \frac{X^3}{6}+C_1X+D_1 \quad \text{(2)}]
[= \frac{P \cdot L_2}{6L} \cdot \left[X^3-X(L_2-L_2^2)\right] \quad \text{(6)}]

对于右段 L1≤X≤L：
[E \cdot I \cdot \frac{df_2}{dx}=\frac{P \cdot L_2}{L} \cdot \frac{X^2}{2}-\frac{P \cdot (X-L_2)^2}{2}+C_2 \quad \text{(3)}]
[= \frac{P \cdot L_2}{6L} \cdot \left[3X^2-(L_2-L_2^2)\right]-\frac{P}{2} \cdot (X-L_1)^2 \quad \text{(7)}]

[E \cdot I \cdot f_2=\frac{P \cdot L_2}{L} \cdot \frac{X^3}{6}-\frac{P \cdot (X-L_1)^3}{6}+C_2X+D_2 \quad \text{(4)}]
[= \frac{P \cdot L_2}{6L} \cdot \left[X^3-X(L_2-L_2^2)\right]-\frac{P}{6} \cdot (X-L_1)^3 \quad \text{(8)}]

第三步：最大挠度的计算

若L1>L2，则最大挠度显然在左段内，令左段的倾角方程(5)等于零，即得最大挠度所在之位置：
[\frac{P \cdot L_2}{6L} \cdot \left[3X^2-(L_2-L_2^2)\right] =0]

则：
[3X^2-(L_2-L_2^2)=0]

得：
[X=\left(\frac{L_2-L_2^2}{3}\right)^{1/2} \quad \text{(9)}]

将(9)式代入(6)式即得最大挠度：
[f_{max}=-\frac{P \cdot L_2 \cdot (L_2-L_2^2)^{3/2}}{9 \cdot 3^{1/2} \cdot L \cdot E \cdot I} \quad \text{(10)}]

展开即得：
[f_{max}=-\frac{\left(P \cdot L_1 \cdot L_2 \cdot (L+L_2) \cdot \left[3 \cdot L_1 \cdot (L+L_2)\right]^{1/2}\right)}{27 \cdot E \cdot I \cdot L}]

这就是公式的推导过程。对于非专业人士可能不会十分清楚，但希望给专业人士一个帮助性的指引，希望有关人士可以在建筑上能够得以应用。

以上就是有关挠度计算公式的内容，希望能对大家有所帮助！