复合指数函数y=24·6ˣ +13·2ˣ +24·3ˣ 的变化分析

复合指数函数y=24·6ˣ +13·2ˣ +24·3ˣ 的变化分析

引用

网易

1.

https://m.163.com/dy/article/J707BOR30536BX08.html

本文将通过导数分析和图像示意图，深入探讨复合指数函数y=24·6ˣ +13·2ˣ +24·3ˣ及其组成部分的图像和性质。

单个指数函数的图像示意图

函数y1=24*6ˣ 的图像示意图

指数函数y1=24*6ˣ 是一个单调增函数，其性质与函数y=6ˣ 基本类似。该函数经过点(0, 24)，图像呈现凹函数的特征。具体示意图如下：

函数y2=13*2ˣ 的图像示意图

指数函数y2=13*2ˣ 同样是一个单调增函数，其性质与函数y=2ˣ 基本类似。该函数经过点(0,13)，图像同样呈现凹函数的特征。具体示意图如下：

复合指数函数的图像示意图

函数y3=246ˣ+132ˣ 的图像示意图

通过导数判断函数的单调性，有：
y=246ˣ+132ˣ
dy/dx=246ˣln6+132ˣln2>0
因此，函数在定义域上为单调增函数。

再次求导，有：
d²y/dx²=24*6ˣ ln²6+132ˣ *ln²2>0
故函数为凹函数。具体示意图如下：

函数y=246ˣ+132ˣ+24*3ˣ 的图像示意图

同理，通过导数判断函数的单调性，有：
y=246ˣ+132ˣ+243ˣ
dy/dx=246ˣln6+132ˣln2+ 243ˣ*ln3>0
因此，函数在定义域上为单调增函数。

再次求导，有：
d²y/dx²=246ˣln²6+132ˣln²2+243ˣln²3 >0
故函数也为凹函数。具体示意图如下：

多个函数在同一坐标系的示意图

将上述四个指数函数，即y1=246ˣ，y2=132ˣ，y3=246ˣ+132ˣ，y=246ˣ +132ˣ+24*3ˣ，绘制在同一坐标系中，可以观察到以下规律：

• 当指数越大，函数图像越靠近y轴上方，且斜率越陡。
• 函数的和的项越多，图像越靠近y轴上方。具体来说，两个函数的和y2位于三个函数的和y3的下方。