直流电路中RC充放电回路公式推导

直流电路中RC充放电回路公式推导

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/FlamBoyanceI/article/details/145491938

RC电路是电子工程中最基本的电路之一，由电阻（R）和电容（C）组成。当电源接通时，电容开始充电；当电源断开时，电容通过电阻放电。本文将从微分方程的角度推导RC电路的充电和放电时间公式，帮助读者深入理解这一基本电路的工作原理。

RC电容充电时间推导

问题定义

一个VCC的直流电源上，仅接入电阻R和电容C，电容从V1电压充电到V2所需要的时间？

微分方程的建立与求解

1. 电路方程

根据基尔霍夫电压定律，电源电压
$$
V_{CC} = V_R + V_C = R \cdot i(t) + V_C
$$
其中电流
$$
i(t) = C \frac{dV_C}{dt}
$$
代入得微分方程：
$$
\frac{dV_C}{dt} + \frac{1}{RC}V_C = \frac{V_{CC}}{RC}
$$

2. 通解与初始条件

解此一阶线性微分方程，初始条件为
$$
V_C(0) = V_1
$$
，解得电容电压：
$$
V_C(t) = V_{CC} - (V_{CC} - V_1)e^{-t/(RC)}
$$

3. 求解充电时间

设
$$
V_C(t) = V_2
$$
代入方程并整理：
$$
V_2 = V_{CC} - (V_{CC} - V_1)e^{-t/(RC)}
$$
解得时间 ( t )：
$$
t = RC \cdot \ln\left(\frac{V_{CC} - V_1}{V_{CC} - V_2}\right)
$$

最终公式

电容从 ( V_1 ) 充电到 ( V_2 ) 所需时间为：
$$
t = RC \ln\left(\frac{V_{CC} - V_1}{V_{CC} - V_2}\right)
$$
要求
$$
V_1 < V_2 < V_{CC}
$$
否则结果无物理意义。

RC电容放电时间推导

25/2/7补充，充电写了，干脆放电也写一下
仅RC回路中，从电容器从V1放电到V2的用时
$$
V_2 = V_1 \cdot e^{-t/(RC)}
$$

放电公式

1. 电路方程建立

在放电过程中，回路仅包含电阻 ( R ) 和电容 ( C )，无外部电源。根据基尔霍夫电压定律，电容电压 ( V_C ) 等于电阻电压 ( V_R )：
$$
V_C = V_R
$$
电流方向为电容放电方向，因此电流为负（( i(t) = -C \frac{dV_C}{dt} )）。代入电阻电压公式 ( V_R = R \cdot i(t) )，得：
$$
V_C = -R \cdot C \frac{dV_C}{dt}
$$
整理得到微分方程：
$$
\frac{dV_C}{dt} + \frac{1}{RC} V_C = 0
$$

2. 求解微分方程

此方程为一阶线性齐次微分方程，通解为：
$$
V_C(t) = V_0 \cdot e^{-t/(RC)}
$$
其中 ( V_0 ) 为初始电压。代入初始条件 ( V_C(0) = V_1 )，得：
$$
V_C(t) = V_1 \cdot e^{-t/(RC)}
$$

3. 计算放电时间

设放电到目标电压 ( V_2 ) 所需时间为 ( t )，则：
$$
V_2 = V_1 \cdot e^{-t/(RC)}
$$
两边取自然对数，解出 ( t )：
$$
t = RC \cdot \ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)
$$