有趣的无穷：许多人弄不懂，是因为在用有限去理解无限
有趣的无穷：许多人弄不懂，是因为在用有限去理解无限
无穷大是一个令人着迷的数学概念。它不是具体的数，而是一种趋势。从简单的数列到复杂的无穷大等级，让我们一起探索这个充满神秘色彩的数学世界。
我曾经也不理解无限，我认为无穷是一个数，但它不是。
而是一种趋势，一组事物趋向于无穷大或者无穷小的趋势。
是不是挺颠覆的？咱们从头说。
首先，无穷谁也没有见过它，也没有真切地感受过它，它是一个抽象的数学概念。
当事情是有限的，可数的，我们可以用有限的确定的思维来衡量，而无穷不是确定的、精确的——请注意这一点。
举个例子，看下面的数列。
我用三种方法，能得到三个答案，我算的对吗？
显然不对，因为我在用有限思维来理解无限。
起初很多人都迷惑：
无限数列改变计算方式，能得到很多答案，到底哪个对？
柯西大神出来说话了：
他说大家都忽略了一点，无穷不是一个数，它不确定，所以它不是总能被求和的。
而且计算无穷数列时，加减乘除的四则运算法则不能用，你不能改变计算顺序。
无穷虽然不能有确定的值，但是它可以收敛或者发散。
比如，数列1、2、3、4、5…就是发散的，因为最后的值很大很大。
而½、¼、…就是收敛的，它无限逼近于0。
（怎么定义无限逼近，后来柯西给出了严谨的定义。）
注意，无限逼近。
细品，是不是一种趋势，而且这种趋势还有大有小。
也就是说：
有些数列收敛的快，有些收敛的慢。
有些数列发散的快，有些发散的慢。
比如，下图的第一个数列就比第二个收敛的慢。
下图的第一个数列就比第二数列发散的慢。
于是就有了高阶无穷小和低阶无穷小，高阶无穷大和低阶无穷大。
那这么多无穷之间如何运算呢？
柯西做了推算，这些公式我们大一的时候肯定都记过。
但是记住归记住，真给你两个数列，让你加减乘除，你也会晕菜的。
你不止需要这几个公式，你还需要更多的法则。
比如洛必达法则。
我当时计算计算起来实在头疼，现在再回过头，多了份欣赏与赞叹。
说到欣赏与赞叹，我们再往前一步，聊一聊无穷大的几个有趣结论。
1 部分可以等于整体
奇数和偶数的数目是相等的，这没有问题。
但是奇数和整数的数目，哪一个多呢？
这就要用到一一对应了的概念了。
一个奇数对应一个整数，再拿另外一个奇数对应一个整数……因为它们都是无穷的，总可以这样无穷的对应下去，那么这样一来，奇数和整数的数目是相同的。
部分等于整体。
是不是很反直觉？
关于这一点，还有一个著名的思想实验，希尔伯特的旅馆。
可以去搜索一下，非常有意思。
2 整数的个数，不及一条线段上的点多。
我们继续用一一对应，线段上的每一个点我们都给它赋予一个数字。
那这个线段上的点不光有整数，还有小数，有无限循环小数也有无限不循环小数。
如果用整数去对应的话，就会发现，无论用什么方式，总有一些点是对不上的。
那么虽然两者都是无穷大，但是一条线段上的点的数目远多于整数的数目。
也就意味着都是无穷大，但是一条线段上的点是更高阶的无穷大。
3 无穷大的等级。
第一级无穷大，整数数目。
第二级无穷大，就是线段、长方形、立方体这些几何结构里点的数目。
这些线段长方形立方体，这些几何图形中点的数目是同一个级别的。
第三级无穷大是所有曲线的形状的数目。
是不是有点匪夷所思？
你看，现在你随手画一条曲线，随便画，你肯定能够画出无穷多种形状的曲线。
这些曲线的总数是无穷大的，而且是第三级无穷大，比整数和一条线段上的点这样的无穷大更大。
而且直到现在也没有发现比这个无穷大更大的无穷大。
关于这一点，推荐2本书，一本是《从一到无穷大》，《沙粒、围棋和无穷》，感兴趣可以买来阅读。
都能读懂，不费劲。
好了，这就是我近期的学习了，也是我关于无穷大目前想分享的内容。