高等数学导论：导数与偏导数的存在性与连续性

高等数学导论：导数与偏导数的存在性与连续性

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/T1085496755/article/details/138423855

一元函数

一元函数的导数存在性和连续性关系如下：

• 导函数连续 > 区间可导 > 区间连续
• 点可导 > 点连续

若f(x)在x=x0处n阶导数存在，则有

其他说法：f(x)在x=x0处n阶可导；f(x)的n阶导在x=x0处有定义；

• f(x)在x0邻域内，k阶可导( k<= n-1)； （高阶点可导 可以推 低阶邻域可导）
• f(x)的n-1阶导，在x=x0处，可导、连续。（高阶点可导 可以推 低阶 点可导点连续）

若f(x)在x=x0处二阶导数存在，则有

若f(x)在x=x0处n阶导数连续，则有

其他说法：f(x)在x=x0处有n阶连续导数；f(x)的n阶导在x=x0处有定义；

• f(x)在x0邻域内，n阶可导；
• f(x)的n阶导，在x=x0处，可导、连续。

若f(x)在x=x0处二阶导数连续，则有

反例说明

狄利克雷函数

性质：处处不连续

变型：x D(x)

性质：只有x=0连续，但不可导，其他点处处不连续不可导。

结论：点连续，邻域不一定连续。

变型：x² D(x)

性质：x=0处连续，可导。其他所有点处处不连续不可导(包括邻域)。

结论：点可导，该点连续。邻域不一定连续，不一定可导。

魏尔斯特拉斯函数（扎手函数）

性质：处处连续，但处处不可导

结论：连续不一定可导

x²sin(1/x)

性质：f(x)处处连续，处处可导，但导函数在x=0处不连续（极限震荡不存在）。

而且显然，f(x)可导，是f(x)的事，跟它的导函数没有关系。导函数要想连续得看二阶导。

结论：区间可导，导函数不一定连续，可能是震荡间断的
(导函数连续，或者在某些点震荡间断，两种情况)

二元函数

二元函数的偏导数存在性和连续性关系如下：

• 偏导数连续 > 可微 > 偏导数存在
• 二元函数连续 > 二元函数极限存在