贝叶斯概率编程：实现高效机器学习的新思路

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@小白创作中心

贝叶斯概率编程：实现高效机器学习的新思路

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来源

https://stonebuddha.github.io/zh/post/introduction-to-probabilistic-programming/

近年来，人工智能领域取得了显著进展，这不仅得益于新算法的不断涌现，也离不开硬件算力的提升以及编程语言对自动微分和张量运算的支持。基于神经网络的机器学习在许多应用中取得了成功，但在预测结果可信度评估、领域知识整合以及数据分布变化时的鲁棒性等方面仍存在不足。贝叶斯推断作为一种历史悠久的基于概率的机器学习方法，在这些方面展现出独特优势。本文将介绍贝叶斯推断的基本概念，并探讨如何通过概率编程来实现更高效、灵活的贝叶斯推断。

贝叶斯推断与机器学习

贝叶斯推断是一种基于概率的统计推断方法，其核心思想是通过观测数据来更新模型假设的概率分布。设 $\Theta$ 为假设空间，$x$ 为观测数据，每个假设 $\theta \in \Theta$ 具有一个先验概率 $\mathbb{P}(\theta)$。一个贝叶斯模型描述了观测数据在给定假设下的条件概率 $\mathbb{P}(x \mid \theta)$。根据贝叶斯法则，我们可以用观测数据更新模型假设的后验概率：

$$
\mathbb{P}(\theta \mid x) = \frac{\mathbb{P}(x \mid \theta) \mathbb{P}(\theta)}{\sum_{\theta' \in \Theta} \mathbb{P}(x \mid \theta') \mathbb{P}(\theta')} \qquad (\theta \in \Theta).
$$

基于贝叶斯推断的机器学习被称为贝叶斯机器学习。相比基于梯度下降等算法的机器学习方法，贝叶斯推断的计算复杂度更高，这限制了其在更多领域和更大模型上的应用。

概率编程：实现高效贝叶斯推断

为了克服贝叶斯推断的计算复杂度问题，概率编程逐渐成为一个活跃的研究领域。概率编程旨在分离描述概率模型和进行贝叶斯推断这两个步骤，通过良好的编程语言设计来支持丰富的模型种类，通过编程语言的各类技术（如编译优化、动态分析、元编程等）来自动、高效地进行贝叶斯推断。

目前，已经开发了多个概率编程语言，如 Stan、Pyro、Gen.jl 等。然而，如何平衡正确性和灵活性仍然是该领域的重要研究问题。一方面，设计有语义限制的概率编程语言并提供特化的推断算法，可以保证正确性和高效性，但会限制语言可表达的模型种类；另一方面，使用通用编程语言描述概率模型并允许用户定制推断算法，可以提高灵活性，但会增加正确性保证的难度。

概率编程在时间序列预测中的应用

下面通过一个使用概率编程进行时间序列在线学习的例子来说明其应用。该例子的目标是学习并预测美国月度民航总里程数的走势。下图展示了2009年1月至2020年2月的数据：

在贝叶斯机器学习中，高斯过程回归是一种灵活的算法，允许通过核函数定制多元高斯分布的协方差矩阵。通过概率编程，我们可以声明核函数形式的先验概率分布，而无需预先指定具体的核函数形式。下面的代码通过概率上下文无关文法实现了这样的先验概率分布：

type kernel =
  | Constant of float
  | Linear of float
  | Plus of kernel * kernel
  ...

let rec kernel_prior () =
  let kernel_type = categorical [0.2; 0.2; 0.2; 0.2; 0.1; 0.1] in
  match kernel_type with
  | 0 -> Constant (rand ())
  (* Constant (C): k(x, x') = C *)
  | 1 -> Linear (rand ())
  (* Linear (C): k(x, x') = (x - C) * (x' - C) *)
  ...
  | 4 -> Plus (kernel_prior (), kernel_prior ())
  (* Plus (k1, k2): k(x, x') = k1(x, x') + k2(x, x') *)
  ...

结合序列蒙特卡洛方法，可以实现一个基于高斯过程的时间序列在线学习算法。该算法可以估计预测的不确定性，并在数据分布发生变化时及时响应。下图展示了在线学习的效果，灰色区域表示使用100个后验概率分布采样得到的95%置信度预测区间：

可以看出，在数据较多的情况下，算法已经能够很好地掌握整体趋势。下图展示了2020年2月之后的数据预测效果：

很明显，新冠疫情导致民航数据发生突变，而基于贝叶斯推断的在线学习能够及时响应这种变化并调整后续预测。