行列式的计算方法(含四种，看完就会！)
行列式的计算方法(含四种，看完就会！)
行列式的计算方法
前言
本文主要讲述行列式的求解方法，所以本文侧重于方法的讲解，而并非推导。主要思路为从三阶行列式举例，再过渡到高阶行列式的通用方法。
以下是本篇文章正文内容：
一、对角线法
以三阶行列式为例：
$$
D_3= \left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\ \end{matrix} \right|
$$
①将第一、二列平移到行列式右侧
②如图做出六条斜对角线
③对角线上的元素相乘，红色相加的和减去蓝色相加的和
$$
D_3 = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}
$$
对角线法也是三阶行列式计算使用最广泛的方法
对角线法适用于二、三阶行列式，对于更高阶的行列式暂时未找到规律
二、代数余子式法
以三阶行列式为例：
$$
D_3= \left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\ \end{matrix} \right|
$$
以第一行展开，得
$$
D_3 = \left( -1 \right) ^{1+1}a_{11}M_{11}+\left( -1 \right) ^{1+2}a_{12}M_{12}+\left( -1 \right) ^{1+3}a_{13}M_{13}
$$
$$
=a_{11}\left| \begin{matrix} a_{22}& a_{23}\ a_{32}& a_{33}\ \end{matrix} \right|-a_{12}\left| \begin{matrix} a_{21}& a_{23}\ a_{31}& a_{33}\ \end{matrix} \right|+a_{13}\left| \begin{matrix} a_{21}& a_{22}\ a_{31}& a_{32}\ \end{matrix} \right|
$$
对于任一行（列）都可进行展开
例n阶行列式：
$$
D_n=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\ \vdots& \vdots& & \vdots\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\ \end{matrix} \right|
$$
以第 i 行展开:
$$
=\left( -1 \right) ^{i+1}a_{i1}M_{i1}+\left( -1 \right) ^{i+2}a_{i2}M_{i2}+\cdots +\left( -1 \right) ^{i+n}a_{in}M_{in}
$$
以第 j 列展开:
$$
=\left( -1 \right) ^{1+j}a_{1j}M_{1j}+\left( -1 \right) ^{2+j}a_{2j}M_{2j}+\cdots +\left( -1 \right) ^{n+j}a_{nj}M_{nj}
$$
例：
$$
\left| \begin{matrix} 0& 1& 0\ 2& 15& 3\ 1& 41& 2\ \end{matrix} \right|=\left( -1 \right) ^{1+2}\left| \begin{matrix} 3& 2\ 2& 1\ \end{matrix} \right|=1
$$
本例中，利用代数余子式法能够简便运算
三、等价转化法
①行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变
②行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面
转化法的核心思想是将行列式转化成上三角行列式
直接举例：
$$
D_4=\left| \begin{matrix} 3& 1& 1& 1\ 1& 3& 1& 1\ 1& 1& 3& 1\ 1& 1& 1& 3\ \end{matrix} \right|
$$
$$
\left| \begin{matrix} 3& 1& 1& 1\ 1& 3& 1& 1\ 1& 1& 3& 1\ 1& 1& 1& 3\ \end{matrix} \right|\xlongequal{r_1+r_2+r_3+r_4}\left| \begin{matrix} 6& 6& 6& 6\ 1& 3& 1& 1\ 1& 1& 3& 1\ 1& 1& 1& 3\ \end{matrix} \right|\xlongequal{r_1\div 6}6\left| \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\ 1& 3& 1& 1\ 1& 1& 3& 1\ 1& 1& 1& 3\ \end{matrix} \right|
$$
$$
\xlongequal{r_2-r_1,r_3-r_1,r_4-r_1}6\left| \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\ 0& 2& 0& 0\ 0& 0& 2& 0\ 0& 0& 0& 2\ \end{matrix} \right|=6\times1\times 2\times 2\times 2=48
$$
四、逆序数法
以三阶行列式为例
$$
D_3=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\ \end{matrix} \right| =\sum{\left( -1 \right) ^ta_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}}
$$
$t$为排列$p_1p_2p_3$的逆序数
其中$p_1、p_2、p_3≤3$，且各不相同
对于n阶行列式：
$$
D_n=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\ \vdots& \vdots& & \vdots\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\ \end{matrix} \right|
$$
$$
=\sum{\left( -1 \right) ^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}}
$$
$t$为排列$p_1p_2\cdots p_n$的逆序数
其中$p_1、p_2\cdots p_n≤n$，且各不相同
前三种方法的本质其实都是逆序数法，逆序数法也是行列式求解最基础的方法，但使用起来更加复杂
总结
本文讲述了四种行列式的计算方法：
- 其中对角线法，是使用最简单、最广泛的方法
- 代数余子式法和等价转化法，在特定情况下能极大程度上简便运算，但需要读者对行列式进行灵活地观察
- 逆序数法，是一种更加基础的方法，使用起来比较复杂