基础理论丨脆性材料的失效

基础理论丨脆性材料的失效

脆性材料的失效理论是材料科学和工程学中的重要研究领域。本文将介绍两种主要的脆性材料失效理论：最大应力准则和莫尔失效理论。这些理论不仅有助于理解材料在不同应力状态下的行为，还为工程设计和材料选择提供了重要的参考依据。

最大应力准则

第一个考虑复杂应力状态的强度理论被称为第一强度理论，该理论认为引起材料失效最大的原因是最大拉应力。后经验证，第一强度理论适用于脆性材料。

但第一强度理论在压应力情况下完全不适用。接着又有人对第一强度理论做了扩展解释，被称为最大应力理论，该理论认为材料受外力作用时，只要主应力中有一项达到极限应力，材料就可能会失效。

最大主应力最早由英国的兰金(William John Macquorn Rankine, 1820-1872) 提出。因此，也将该准则称为Rankine criterion。

该准则认为：无论材料处于什么应力状态，只要发生脆性断裂，其共同原因都是由于微元内的最大主应力 达到材料的强度极限 。

主应力准则表述如下：
其中， 和 是 2D 应力的主应力。

材料最大主应力达到单轴拉伸强度 或单轴压缩强度 时，就会发生失效。

从图形上看，最大应力准则要求两个主应力位于图示所示的绿色区域内。

铸铁等脆性材料在单向拉伸下断裂发生在应力最大横截面，扭转也是沿着拉应力最大的斜面发生断裂。

该理论适用于脆性材料：石、砖、铸铁、玻璃、石膏、陶瓷等。

莫尔失效理论

莫尔失效理论，也称为库仑-莫尔准则或内摩擦理论，基于著名的莫尔圆。莫尔理论通常用于预测脆性材料的失效，并应用于二维应力的情况。

1773年，法国学者库仑（Coulomb）根据砂土的试验结果，提出土的抗剪强度 在应力变化不大的范围内，可表示为剪切滑动面上法向应力σ的线性函数。即：

其中，φ 为砂土的内摩擦角。

后来，库仑又根据粘性土的试验结果，提出更为普遍的抗剪强度公式：

其中， 为砂土的黏聚力。

Mohr(莫尔)于1900年对最大剪切理论作了修正，提出了莫尔强度理论，认为：材料发生破坏是由于材料的某一面上剪应力达到一定的限度，而这个剪应力与材料本身性质和正应力在破坏面上所造成的摩擦阻力有关。即材料发生破坏除了取决于该点的剪应力，还与该点的正应力相关。如截面上存在压应力，则与压应力大小有关的材料内摩擦力将阻止截面的滑动；如果截面上存在拉应力，则截面将容易滑动。

其中， 是破坏面上的剪应力，σ是破坏面上的法向正应力。

莫尔根据实验结果，应用莫尔应力圆来表述他的理论。同一试样在不同大小主应力（对于不同的加载试验如单轴拉伸、单轴压缩、纯剪切等）达到极限状态所得应力圆的包络线，即莫尔强度包络线，也称为莫尔强度曲线。如下图所示，OA对应单轴拉伸的应力圆直径，OB对应于单轴压缩的应力圆直径，CD对应于纯剪切加载的应力圆直径，虚线包络的三个极限应力圆的包络线即为莫尔包络线，对称于σ轴。

莫尔的理论表明，当零件某一点的莫尔圆超过两个莫尔圆产生的单轴抗拉强度和单轴压缩强度时，就会发生失效。如下图所示，

左圆表示在材料的极限压缩应力 处进行单轴压缩。同样，右圆表示极限拉应力 处的单轴拉伸。

图中的中间莫尔圆（虚线-点-虚线）表示中间应力状态的最大允许应力。

其他中间应力状态都属于下表中的四个类别之一。每种情况都定义了两个主应力的最大允许值，以避免失效。

从图形上看，莫尔的理论要求两个主应力位于下面描述的绿色区域内，

图中还显示了最大应力准则（虚线）。通过对比，可知莫尔理论相对更加保守，最大应力准则的允许范围位于莫尔准则的边界之外。