最小生成树图文解析
最小生成树图文解析
最小生成树英文是Minimum Spanning Tree，对于最小生成树大家应该都不陌生，当然还有最大生成树，首先就简单总结一下算法里的生成树。
一、什么是生成树？
Spanning有跨越的意思，生成树一般来说每个节点都能访问到别的节点，是一个连通树。所以，一般考虑无向图里去造生成树。生成树又分最小和最大两种，其中最小生成树应用比较多。总结一下生成树的定义：
- 首先它得是一个树的结构
- 所有的节点都能互相访问
- 要么最小要么最大（废话）
如下图所示，加粗的黑边就是最小生成树。
特性
生成树有两个看起来很废话的特性 Cycle Property 和 Cut Property，这里以最小生成树为主来说明。
Cycle Property
如果在一个环里，其中某条边 e 是这里面的权重最大的边，那么这条边一定不在最小生成树里。
举个例子，上图我们看到其中一个环 0 -> 1 -> 7 -> 0，我们发现边 1 -> 7 是这里面权重最大的，那么就一定不会在这张图的最小生成树里。
Cut Property
再来看看 Cut Property，如果你把图里的节点分成两堆，里面最权重最小的边是一定会在这张图的最小生成树里的。
二、最小生成树
一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n个结点，并且有保持图连通的最少的边。最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。简单明了就是求最小的连通图。
举个例子：
这幅图的极小连通图为
或者
就是从一个点能到达图的任意一点，且花费的代价最小（所有边的权值最小）
三、代码描述
（一）Prim算法
- 概览
普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。
- 算法简单描述
（1）输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
（2）初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
（3）重复下列操作，直到Vnew = V：
a. 在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b. 将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；
（4）输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
3.下面对算法的图例描述
图例 | 说明 | 不可选 | 可选 | 已选（Vnew） |
|---|---|---|---|---|
为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 | - | - | - | - |
顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。 | C, G | A, B, E, F | D | |
下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D | |
算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F | |
在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 | 无 | C, E, G | A, D, F, B | |
这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。 | 无 | C, G | A, D, F, B, E | |
顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。 | 无 | G | A, D, F, B, E, C | |
现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。 | 无 | 无 | A, D, F, B, E, C, G |
- 简单证明prim算法
反证法：假设prim生成的不是最小生成树
（1）设prim生成的树为G0；
（2）假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0) 则在Gmin中存在<u,v>不属于G0；
（3）将<u,v>加入G0中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)；
（4）这与prim每次生成最短边矛盾；
（5）故假设不成立，命题得证。
（二）Kruskal算法
- 概览
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
- 算法简单描述
（1）记Graph中有v个顶点，e个边
（2）新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
（3）将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
（4）循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中 if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中，添加这条边到图Graphnew中
图例描述：
首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边。
将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了上图。
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面继续选择，BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。