数字信号处理基础：离散时间信号系统、因果稳定性与线性卷积计算

数字信号处理基础：离散时间信号系统、因果稳定性与线性卷积计算

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/persona5joker/article/details/140839021

数字信号处理是现代通信和信息处理领域的重要基础，其中离散时间信号系统、系统的因果性和稳定性、线性卷积的计算以及连续时间信号的抽样等概念是其核心内容。本文将对这些概念进行详细的讲解，并通过具体实例帮助读者更好地理解这些知识点。

系统的因果性和稳定性

在系统中，若输出y(n)只取决于n时刻，以及n时刻以前的输入，即
$$y(n) = f(x(n), x(n-1), x(n-2), \ldots)$$
称该系统是因果系统。因果系统是指输出的变化不领先于输入的变化的系统。

对于线性时不变系统，具有因果性的充要条件是系统的单位取样响应满足：
$$h(n) = 0, \quad n < 0$$

稳定系统

稳定系统是指对于每个有界输入x(n)，都产生有界输出y(n)的系统。即如果$|x(n)| \leq M$（M为正常数），有$|y(n)| < +\infty$，则该系统被称为稳定系统。

对一个线性时不变系统来说，系统稳定的充要条件是单位取样响应绝对可和，即
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h(n)| < \infty$$

例1：设某线性时不变系统，其单位取样响应为
$$h(n) = a^n u(n)$$
式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。

解：由于n<0时，h(n)=0，故此系统是因果系统。
$$\sum_{n=0}^{\infty} |a^n| = \frac{1}{1-|a|}$$
所以 |a|<1 时，此系统是稳定系统。

例2：设某线性时不变系统，其单位取样响应为
$$h(n) = a^{-n} u(-n)$$
式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。

解：(1)讨论因果性

由于n<0时，h(n)≠0，故此系统是非因果系统。

(2)讨论稳定性

$$\sum_{n=-\infty}^{0} |a^{-n}| = \frac{1}{1-|a^{-1}|}$$
所以 |a|>1 时，此系统是稳定系统。

线性卷积的计算

计算它们的卷积的步骤如下：

1. 折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k)。
2. 移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左移n。
3. 相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。
4. 相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。

计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。

例：已知x(n)和h(n)分别为：

和

a为常数，且1<a，试求x(n)和h(n)的线性卷积。

解 参看图，分段考虑如下：

1. 对于n<0；
2. 对于0≤n≤4；
3. 对于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6；
4. 对于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10；
5. 对于(n-6)>4，即n>10。

图解说明

(2)在0≤n≤4区间上

综合以上结果，y(n)可归纳如下：
卷积结果y(n)如图所示

设有一线性时不变系统，其单位取样响应为
(2)在0<n<N 区间上
(3)在n>N 区间上
例
设有一线性时不变系统，其

对有限长序列相卷，可用竖乘法
注：

1. 各点要分别乘、分别加且不跨点进位；
2. 卷和结果的起始序号等于两序列的其实序号之和。

由上面几个例子的讨论可见，

设x(n)和h(n)两序列的长度分别是N 和M ，线性卷积后的序列长度为(N + M -1)。

线性卷积满足以下运算规律：
交换律
结合律
分配律
序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身：

如果序列与一个移位的单位取样序列(n-n0)进行线性卷积，就相当于将序列本身移位n0：

常系数差分方程

连续时间线性时不变系统——》线性常系数微分方程
离散时间线性时不变系统——》线性常系数差分方程
一个N 阶线性常系数差分方程用下式表示：
求解差分方程的基本方法有三种：
设差分方程为

求输出序列设系统参数
设输入为
初始条件为
解：
依次类推

初始条件为

差分方程表示法的另一优点是可以直接得到系统的结构

连续时间信号的抽样

1.信号经过采样以后，将发生一些什么变化？例如，信号频谱将发生怎样变化；
2.经过采样后信号内容会不会有丢失；
3.如果信号没有被丢失，其反变换应该怎样进行，即由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等

采样

一、理想采样

单位冲激函数

二、频谱的周期延拓

由于是周期函数

可用傅立叶级数表示，即


采样信号的傅氏变换为
采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓，其延拓周期为Ω 。

讨论：
采样定理 ：
要想采样后能够不失真地还原出原信号，则采样频率必须大于两倍原信号频谱的最高截止频率（s2C）。
由上面的分析有，频谱发生混叠的原因有两个：
1.采样频率低
2.连续信号的频谱没有被限带

采样的恢复

时域分析

采样内插公式说明：只要满足采样频率高于两倍信号最高截止频率，则整个连续时间信号就可以用它的采样值来完全代表，而不会丢失任何信息。