随机微分方程（SDE）教程：从基础理论到实践应用

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@小白创作中心

随机微分方程（SDE）教程：从基础理论到实践应用

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CSDN

https://blog.csdn.net/FFMXjy/article/details/145367110

随机微分方程（Stochastic Differential Equations，SDE）是一类包含随机过程的微分方程。与普通微分方程不同，SDE考虑了系统中的随机扰动，使其更适合描述现实世界中的不确定性。本文将从基本概念、数学表达、算法特点、代码实现、结果分析等多个方面，详细介绍随机微分方程的相关知识。

一、算法简介

随机微分方程（Stochastic Differential Equations，SDE）是一类包含随机过程的微分方程。与普通微分方程不同，SDE考虑了系统中的随机扰动，使其更适合描述现实世界中的不确定性。在金融、物理、生物等领域都有广泛应用。

1.1 基本概念

布朗运动（Brownian Motion）：

连续时间随机过程
增量服从正态分布
独立增量性质

伊藤积分（Itô Integral）：

随机积分的一种形式
考虑了随机过程的不可预测性

漂移项和扩散项：

漂移项描述确定性趋势
扩散项描述随机波动

1.2 数学表达

一般形式的SDE可以写作：
d X t = μ ( X t , t ) d t + σ ( X t , t ) d W t dX_t = \mu(X_t, t)dt + \sigma(X_t, t)dW_tdXt =μ(Xt ,t)dt+σ(Xt ,t)dWt

其中：

X t X_tXt 是随机过程
μ ( X t , t ) \mu(X_t, t)μ(Xt ,t)是漂移函数
σ ( X t , t ) \sigma(X_t, t)σ(Xt ,t)是扩散函数
W t W_tWt 是维纳过程（布朗运动）

二、算法特点

2.1 优点

能够模拟随机性和不确定性
适合描述金融市场和自然现象
提供了理论分析和数值模拟的框架
可以计算统计特征和概率分布

2.2 缺点

数值求解较为复杂
需要较多的计算资源
参数估计和模型选择具有挑战性
结果的解释需要统计知识

三、代码实现

3.1 环境准备

首先需要安装必要的Python库：

# requirements.txt
numpy>=1.21.0
matplotlib>=3.4.0
scipy>=1.7.0

3.2 核心代码实现

def geometric_brownian_motion(S0, mu, sigma, T, N, M):
    """
    模拟几何布朗运动
    S0: 初始值
    mu: 漂移率
    sigma: 波动率
    T: 总时间
    N: 时间步数
    M: 模拟路径数
    """
    dt = T/N
    t = np.linspace(0, T, N)
    
    # 生成随机数
    dW = norm.rvs(scale=np.sqrt(dt), size=(M, N-1))
    
    # 计算价格路径
    S = np.zeros((M, N))
    S[:, 0] = S0
    for i in range(1, N):
        S[:, i] = S[:, i-1] * np.exp((mu - 0.5 * sigma**2) * dt + sigma * dW[:, i-1])
    
    return t, S

3.3 完整示例代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

# 设置中文字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

def geometric_brownian_motion(S0, mu, sigma, T, N, M):
    """
    模拟几何布朗运动
    S0: 初始值
    mu: 漂移率
    sigma: 波动率
    T: 总时间
    N: 时间步数
    M: 模拟路径数
    """
    dt = T/N
    t = np.linspace(0, T, N)
    
    # 生成随机数
    dW = norm.rvs(scale=np.sqrt(dt), size=(M, N-1))
    
    # 计算价格路径
    S = np.zeros((M, N))
    S[:, 0] = S0
    for i in range(1, N):
        S[:, i] = S[:, i-1] * np.exp((mu - 0.5 * sigma**2) * dt + sigma * dW[:, i-1])
    
    return t, S

# 设置参数
S0 = 100  # 初始价格
mu = 0.1  # 漂移率
sigma = 0.3  # 波动率
T = 1.0  # 总时间
N = 1000  # 时间步数
M = 5  # 模拟路径数

# 模拟几何布朗运动
t, S = geometric_brownian_motion(S0, mu, sigma, T, N, M)

# 绘制价格路径
plt.figure(figsize=(12, 6))
for i in range(M):
    plt.plot(t, S[i, :], label=f'路径 {i+1}')
plt.xlabel('时间')
plt.ylabel('价格')
plt.title('几何布朗运动模拟')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig('images/gbm_paths.png')
plt.close()

# 计算并绘制终值分布
plt.figure(figsize=(10, 6))
final_prices = S[:, -1]
plt.hist(final_prices, bins=30, density=True, alpha=0.7)
plt.xlabel('终值价格')
plt.ylabel('密度')
plt.title('终值价格分布')
plt.grid(True)
plt.savefig('images/gbm_distribution.png')
plt.close()

# 计算统计特征
mean_path = np.mean(S, axis=0)
std_path = np.std(S, axis=0)

# 绘制均值和置信区间
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(t, mean_path, 'b-', label='均值路径')
plt.fill_between(t, mean_path - 2*std_path, mean_path + 2*std_path, 
                 color='b', alpha=0.2, label='95%置信区间')
plt.xlabel('时间')
plt.ylabel('价格')
plt.title('几何布朗运动统计特征')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig('images/gbm_statistics.png')
plt.close()