向量代数：混合积、双重外积与拉格朗日恒等式

向量代数：混合积、双重外积与拉格朗日恒等式

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/hunter_wwq/article/details/41277983

向量代数是数学中的一个重要分支，它在物理学、工程学等多个领域都有广泛的应用。本文将详细介绍向量代数中的几个核心概念：混合积、双重外积以及拉格朗日恒等式。通过本文的学习，读者将能够掌握这些概念的定义、性质及其在实际问题中的应用。

一. 混合积

定义：向量a与b的外积仍是一个向量，因而它还可以与另一个向量c做内积：(a×b)·c= |a×b||c|cosθ = |a×b|h。它成为a,b,c的混合积，记作(a,b,c) = (a×b)·c。如上图所示。

几何意义：因|a×b|等于以a,b为邻边的平行四边形面积，故|(a,b,c)|等于以a,b,c为邻边的平行六面体的体积。

性质：

1. (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b) = -(b,a,c) = -(c,b,a) = -(a,c,b)；
2. (λa1+ μa2,b,c) = λ(a1,b,c) + μ(a2,b,c)，对任意实数λ, μ成立；
3. 若{e1,e2,e3}是互相正交的组成右手系的单位向量，则(e1,e2,e3) = 1；
4. a,b,c共面的充要条件是：(a,b,c) = 0。

• 应用混合积求解不同坐标系间的坐标转换问题：
  设a,b,c为三个不共面的向量。求任意向量d关于a,b,c的分解式d= xa+ yb+zc。
  解：根据向量加法的性质，d可以表示成上式。两边与b,c取混合积，得
  (d,b,c) = (xa+yb+zc,b,c)
  =((xa+yb+zc)×b)·c
  =(xa×b+yb×b+zc×b)·c
  =(xa×b+zc×b)·c （根据外积的性质，b×b=0）
  =(xa×b)·c+ (zc×b)·c
  =x(a,b,c) （根据外积性质，c×b与c正交，据内积性质，(c×b)·c= 0）
  因为(a,b,c)不共面，所以(a,b,c) ≠ 0，于是解得 x = (d,b,c)/(a,b,c)，同理可得 y = (a,d,c)/(a,b,c)，z = (a,b,d)/(a,b,c)。这其实就是解线性代数方程组的克莱姆法则。

二. 双重外积公式与拉格朗日恒等式

双重外积公式：(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c).

拉格朗日恒等式：(a×b)·(c×d) = (a·c)(b·d) - (a·d)(b·c).

证拉格朗日恒等式：
(a×b)·(c×d) = (c,d,a×b) （根据混合积定义：(a,b,c) = (a×b)·c）
= (a×b,c,d) (根据混合积性质: (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b))
= ((a×b)×c)·d
= (b(a·c) -a(b·c))·d
= (a·c)(b·d) - (a·d)(b·c).

三.参考

[1] 苏步青. 空间解析几何. 上海：上海科技出版社，1984