统计学基础：概率及概率分布详解

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统计学基础：概率及概率分布详解

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CSDN

https://blog.csdn.net/geilip/article/details/141279463

概率和概率分布是推断统计的基础，学好这一章对后面学习推断统计（参数估计、假设检验、方差分析等）至关重要。

1 基本概念

试验：对事物或现象的观察或实验称为试验
样本点：试验的结果称为样本点
基本空间（样本空间）：一个试验中所有的可能结果(样本点)称为样本空间或基本空间，用S表示
基本事件（简单事件）：一个事件，如果不能拆解为2个或更多个样本点
如投掷硬币的试验，S={正面，反面};检测零件的试验，样本空间为S={合格，不合格}

2 概率

事件：是样本点的集合，事件的概率等于该事件包括的样本点的概率之和
事件在试验中出现的可能性大小称为事件的概率，对概率的研究最早起源于17世纪50年代。概率取值为[0,1]之间，若概率为0，表明事件几乎不可能发生，称为不可能事件；若概率为1，表明事件几乎一定会发生，称为必然事件；若概率介于0和1之间，代表事件发生可能性的程度，称为随机事件
随机事件：每次试验，可能出现也可能不出现的事件，通常用大写英文字母表示，如A，B等
必然事件：每次试验，必定会出现的事件，用
表示
不可能事件：每次试验，一定不会出现的事件，用
表示
⚠️概率论研究的是随机事件，并且把必然事件与不可能事件包括在随机事件内作为两个极端来看待

2.1 试验结果确认和计数

对试验结果（样本点）进行确认和计数是计算概率的基础，因此，将介绍三种实用的计数法则：

2.1.1 多步骤试验的计数法则

如果一个试验可以分为有序的k个步骤，在第1步中有
种试验结果，在第2步中有
种试验结果...以此类推，那么所有可能的试验结果的总数为
；而树形图是一种帮助分析多步骤试验的图形，树形图右侧的每一个节点对应着试验的一种结果（从树型图左侧节点通往右侧的每一条路径对应着试验的一种结果）

案例一：投掷2枚硬币，可能的结果总共有2*2=4种

案例二：某工程分为两个步骤：步骤1（设计阶段）和步骤2（建设阶段），设计阶段完工可能需要2、3或4个月，而建设阶段完工可能需要6、7或8个月。基于多步骤试验的计数法则，可知该工程的总完工时间总共有3*3=9种可能

2.1.2 组合的计数法则

2.1.3 排列的计数法则

2.2 试验结果概率分配

基于对概率的不同解释，概率的定义有所不同，主要有古典定义、统计定义和主观定义。

2.2.1 古典定义法

古典定义起源于赌博，如掷硬币、掷骰子等，这些活动都比较简单，有两个重要的共同点：
(1)试验结果有限：即样本空间中只包含有限个样本点，如掷硬币试验，只出现“正面”、“反面”两种结果
(2)各个结果出现的可能性被认为是相同的，如掷硬币试验，出现正面或反面的可能性被认为是相同的

具有上述两个特点的随机试验所研究的问题称为“古典概型”

如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果可能性相等，则某一事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件个数m与样本空间中所包含的基本事件个数n的比值，记为：

2.2.2 统计定义法

由于古典概率要求随机试验结果有限个且每个结果可能性相同，使得应用受到很大限制，因此人们又提出根据事件在多次重复试验中发生的频率确定其概率的方法，即概率的统计定义：在相同条件下重复随机试验n次，某事件A出现m次，则m/n为事件发生的频率，随着试验次数n增大，该频率值会在某个值上下波动，且波动幅度越来越小，这个频率的稳定值即为该事件的概率。