专业 | 随机误差的处理
专业 | 随机误差的处理
在测量活动中，随机误差是不可避免的。本文将详细介绍随机误差的处理方法，重点介绍实验标准偏差的三种估计方法：贝塞尔公式法、极差法和较差法。通过这些方法，我们可以有效地减小随机误差对测量结果的影响。
一、随机误差的相关概念
随机误差，是随机测量误差的简称，是指“在重复测量中按不可预见方式变化的测量误差的分量”。随机误差也是测量误差的一个分量。随机误差的参考量值是对同一被测量由无穷多次重复测量得到的平均值，即期望。由于实际上不可能进行无穷多次测量，因此定义的随机误差是得不到的，随机误差是一个概念性术语，不要用定量的随机误差来描述测量结果。
随机误差是由影响量的随机时空变化所引起，它导致重复测量中数据的分散性。一组重复测量的随机误差形成一种分布，该分部可用期望和方差描述，其期望通常可假设为零。测量误差包括系统误差和随机误差，从理想的概念来说，随机误差等于测量误差减系统误差。实际上不可能做这种算术运算。
二、实验标准偏差的估计方法
上文中我们说到，由于无法进行无穷多次的重复测量，因而定义的随机误差值无法准确得到。随机误差的大小程度反映了测得值的分散性，即测量的重复性。重复性是用实验标准偏差表征的。用有限次测量的数据得到的标准偏差的估计值称为实验标准偏差，用符号s表示。实验标准偏差是表征测得值分散性的量。
多次测量的算数平均值的实验标准偏差是这一批次测得值实验标准偏差的
（n为测量次数）。因此可以说，当重复性较差时可以增加测量次数取算数平均值作为测量结果的值，来减小测量的随机误差。
那么我们如何获得实验标准偏差的估计值呢，假定在相同条件下，对同一被测量X进行n次重复测量，每次测得值为
，那么我们可以用以下三种常用方法来估计：
1. 贝塞尔公式法
将有限次独立重复测量的测得值
带入下式可以得到估计的标准偏差
式中
——重复n次的测量的算数平均值，即
—— 第i次测量的值；
—— 残差
n-1—— 自由度
—— 测得值x的实验标准偏差
贝塞尔公式是计量学和日常测量中计算实验标准偏差最常用的公式，是一种基本方法，但是在测量次数n很小时，其估计的不确定度会比较大，例如n=9时，由这种方法获得的标准偏差估计值的标准不确定度为25%，在n=3时，这种方法的标准不确定度会达到50%，因此贝塞尔公式法比较适合测量次数较多的场景。会有很多人觉得贝塞尔公式较为繁琐，计算量巨大，这是完全不用担心的，现在只需要在科学型计算器中输入多次重复测量所得的
值，计算器预储存的公式会自动帮我们计算出实验标准偏差
，而不需要像以前一样进行繁琐的演算过程，这一方法目前也已经被所有行业和成人考试所认可。
举个例子：我们用三坐标测量一个工件的某一尺寸共10次，测的结果如下：10.0004mm，10.0002mm，10.0006mm，10.0008mm，10.0007mm，10.0006mm，10.0003mm，10.0004mm，10.0005mm，10.0005mm，请计算此次实验的标准偏差。
我们按照公式一步一步来计算，首先我们需要计算出此次数据的算数平均值；
然后我们计算出这一组10个数据的残差
；
分别为：-0.0001mm，-0.0003mm，0.0001mm，0.0003mm，
0.0002mm，0.0001mm，-0.0002mm，-0.0001mm，0.0000mm，0.0000mm；
接下来计算残差的平方和；
最后我们带入公式；
所以，该组数据的试验标准偏差为0.18mm。
2. 极差法
在有限次的独立重复测量的一组测得值中，找到最大值
和最小值
，另其相减得到极差
，我们还需要通过查询极差系数表，来获得对应测量次数的极差系数
，则此时实验标准偏差的计算式为：
这里附上一部分极差系数表
极差系数
表
极差法的计算极为简单，短短三步即可计算出该组测得值的实验标准偏差，此方法比较适合测量次数较少的场景。在测量数据的概率分布偏离正态分布较大时，还是应当以贝塞尔公式法的估计结果为准。
我们同样举个例子：实验室用三坐标测量工件某尺寸，共测了6次，测量数据分别为5.0006m，5.0009mm，5.0003mm，5.0005mm，5.0006mm，5.0005mm，请用极差法估算实验标准偏差。
我们首先在该组数据中找到最大值为5.0009mm，最小值为5.0003mm，那么极差
R=5.0009-5.0003=0.0006(mm)
通过查上表可知，测量次数n=6时，极差系数
=2.53
则实验标准偏差保留一位有效数字为
所以，该组数据的试验标准偏差为0.0002mm。
3. 较差法
在有限次的独立重复测量的一组测得值
中，我们用每次的测得值与它后一次的测得值相比较得出差值，带入下式所计算得出的实验标准偏差
较差法顾名思义，用后一次的测得值与前一次的测得值比较作差来估计实验标准偏差，此方法更适用于随机过程的方差分析，比如天文观测，电波频率等，具有较强的行业适配性，这里不过多展开。
三、算数平均值及其实验标准差的计算
1.算数平均值的计算
一个统计学的基本公式，简单来说就是用所有测得值的总和来除以测量次数，算数平均值的获取对实验标准偏差等数据的计算起着重要的铺垫作用。
2.算数平均值实验标准差的计算
若单次测得值的实验标准偏差为
，则算数平均值的实验标准偏差
由式中可以看出，算数平均值的实验标准偏差与测量次数成反比，测量次数增加，标准偏差减小，即算数平均值的分散性减小。增加测量次数，用多次测量的算数平均值作为被测量的最佳估计值，可以减小随机误差，或者说减小由于各种诸如温湿度，振动等随机影响引入的不确定度。但是测量次数如果不加限制的增加，算数平均值的实验标准偏差减小程度慢慢减弱趋于平缓，那么只会徒增人力，时间与设备的损耗，所以我们一般设置测量次数在3~20次之间。
- 算数平均值的应用
由于算数平均值是数学期望的最佳估计值，所以通常将算数平均值作为我们测量结果的值。在这种情况下，算数平均值的实验标准偏差就是用A类评定的标准不确定度。关于不确定度的相关基础知识和评定方法，会在后续的文章中予以介绍和解读。
本文介绍了随机误差的处理方法，转换思路，将难以估计出的随机误差转换为可估计的实验标准偏差，继而估计出算数平均值的实验标准偏差，以此来减小随机误差对测量带来的影响。共介绍了贝塞尔公式法，极差法和较差法来估计实验标准偏差，通过算数平均值的实验标准偏差与测量次数的函数关系，把控测量次数，来实现测量活动中人力物力的更好结合与最大利用率。
近期的两篇关于测量误差的文章，简单的讲述了这一测量活动中最常见特性的一些基本概念，特性和处理方法。讲解了系统误差的表达方式，减小和修正方法，随机误差的处理方法以及实验标准偏差的估计方法这一重要内容。意在帮助各位从业者更好的进行日常的测量工作，在面对产生的各种测量误差时，分析时可以有思路，有方法，懂得如何排除影响因素，从而使测量结果更加贴近真值，更好的把控测量质量，实现测量活动全生命周期的良性发展。
本文原文来自CSDN