线性代数：空间的定义（欧几里得空间&向量空间）
线性代数：空间的定义（欧几里得空间&向量空间）
在线性代数中，"空间"是一个核心概念，它不仅包括我们熟悉的二维、三维空间，还包括更抽象的n维空间。本文将从空间的本质出发，逐步介绍欧几里得空间和向量空间的定义及其性质，帮助读者建立对线性代数中"空间"概念的全面理解。
1. 空间的本质
空间的本质是一个集合，集合里面包含元素。这个空间的含义与我们生活中描述的空间含义是一致的，如我们说"宇宙空间"就是因为宇宙是一个大的集合，里面包括有恒星，行星等等。
线性代数中接触的有如二维空间，三维空间，n维空间等空间的本质也是一个集合，这种叫做几维几维的空间统一称为欧几里得空间。在基础的几何学里，就是在欧几里得空间处理诸如点，线，面这样的几何元素之间的关系。
2. 欧几里得空间
欧几里得空间本质是有序实数(有理数和无理数总称为实数)元组的集合，其中有序实数是指按照一定顺序排列的实数表示一定的意义，改变它们的位置，则表示的意义不同。 如一个包含两个元素的有序元组(6, 66)属于二维欧几里得空间。它和点(66, 6)在二维欧几里得空间里是不同的点。一个包含三个元素的有序元组(3.14, 0, √2)属于三维欧几里得空间。
二维欧几里得空间R²
也叫二维空间，通常在数学表达法中二维欧几里得空间表示成R²，其中R指的是实数集，R²表示这个空间中的每个有序实数元组中包含有两个元素。三维欧几里得空间R³
n维欧几里得空间Rⁿ
从有序实数元组集合来看，欧几里得空间可以理解为一个点集，每个点的实质就是一个有序的实数元组。
从向量视角来看，欧几里得空间就是一个起点为原点的向量集合； 在欧几里得空间，一个点其实可以看成一个向量。
3. 向量空间
在线性代数领域，我们不讨论其它空间(如宇宙空间，一个房子所形成的空间)，而是研究一种特殊的空间，就是欧几里得空间(有序实数元组集合Rⁿ)，更进一步欧几里得空间不仅仅是一个空间(空间作为一个集合，它可能是杂乱无章的，也可以是有序的，这不方便进行研究)，同时还是一个向量空间(一种具有特殊性质的空间)。
向量空间:空间中的元素是“向量”。其中“向量”这个名词的定义是很广泛的，不仅仅指之前学习的“起点在原点，并且有方向”这种概念的向量(这种向量是定义在欧几里得空间里的描述)。
“向量”的具体定义，或者说一个元素具体满足哪些性质可以称之为“向量”？数学家给出的定义是对于向量来说必须定义两种运算：①加法运算(a, b) + (c, d) = (a+b, c+d)，②数量乘法k ⋅ (v₁, v₂) = (k⋅v₁, k⋅v₂)。
“向量”必须满足的十条性质
1)、核心性质
对于一个向量空间V
- 如果u和v都属于V，则u + v属于V；
- 如果u属于V，k是一个实数，则k ⋅ u属于V；
以上这两条性质是十条核心性质的关键性质，在数学上，被称为封闭性(closure)，表示当某些元素已经存在于一个空间中，那么进行相应的数学运算后，运算的结果还需要在这个空间中，所进行的所有运算都无法脱离这个空间，这就是封闭。在数学体系中，是存在一些运算不满足封闭性的。比如对于一个整数集合，在该集合中，加法是满足封闭性的，一个整数加上另一个整数还是一个整数，但是对除法是不封闭的，像2 ÷ 3的运算结果2/3就不是一个整数，这个结果脱离了整数集。在线性代数领域所讨论的向量空间，必须要求向量的加法和数量乘法这两个基本运算满足封闭性。
2)、其它性质
- 满足加法交换律u + v = v + u;
- 满足加法结合律(u + v) + w = v + (u + w);
- 向量空间一定存在零向量O，使得u + O = u;
- 对于向量空间的每一个u存在−u，使得u + (−u) = O;
- 数量乘满足结合律:(k ⋅ c) ⋅ u = k ⋅ (c ⋅ u)；
- 数量乘满足分配律:k ⋅ (u + v) = k ⋅ u + k ⋅ v)；
- 数量乘满足分配律:(k + c) ⋅ u = k ⋅ u + c ⋅ u；
- 数量乘满足分配律:k ⋅ (u + v) = k ⋅ u + k ⋅ v)；
- 向量与常数1的点乘满足1 ⋅ u = u
欧几里得空间Rⁿ是向量空间，在欧几里得空间的这些向量(元素)是有序实数元组，对这些向量定义的加法和数量乘法两种基础运算也都满足“向量的十条性质”。
在这个世界上向量空间不仅仅只有欧几里得空间，而是存在有无数的向量空间，不同的向量空间对应的元素是不一样的，其中零向量是谁，负的向量是谁，包括向量的加法，数量乘法的定义都有可能不一样。对于我们接触到的很多具体的实际问题的处理上近乎都是在欧几里得空间中进行处理的。