圆的面积，球的表面积、体积公式，是怎么推导出来的？
圆的面积，球的表面积、体积公式，是怎么推导出来的？
从正方形、长方形到三角形，规则图形的面积计算似乎都很容易。但当面对圆形时，问题就变得复杂起来。古希腊数学家阿基米德通过无限分割的思想，巧妙地推导出了圆的面积公式。本文将带你一起探索圆的面积、球的表面积和体积公式的推导过程，领略数学之美。
从简单图形到圆
正方形、长方形的面积好算。把规则的图形切成单位为1的小块，面积就是一个简单的乘法算式。看下图。
甚至三角形，也好说。两个三角形一拼接就是个平行四边形。平行四边形容易变形，一推就是正方形、长方形。看下图。
那五边形、六边形……也好说，切成三角形。
阿基米德的天才证明
那圆呢？圆的边可是曲线，怎么去计算圆的面积呢？我们来看看阿基米德的天才证明。阿基米德把圆想象成一个披萨，披萨切小块，排列在一起。只要切的足够多，排列在一起就非常像一个长方形。
那么，这个长方形的面积就等于圆的面积，也就是圆的半个周长乘以半径。
π的发现
圆的周长是不难测量的，问题是能不能固定一个公式？阿基米德又进一步想了。一个圆内接一个多边形，只要这个多边形的边足够多，就越是逼近这个圆的面积，同时也越逼近圆的周长。其实很早之前希腊人就知道圆的面积和半径的平方有关系。但是他们不知道π。阿基米德觉得圆的周长跟直径之间肯定有什么关系。于是，阿基米德通过96边形，又结合勾股定理（跟直径配合，构造直角三角形，计算多边形的周长），硬生生算出了π的最终值：大于3+10/71而小于3+10/70。不得不说，威武。这就等于把π限定在了一个具体的范围里。
圆的面积公式
关系找到了——如此一来，圆的周长有了固定的公式，2πr。代入上面说的圆的面积计算方式，得到圆的面积公式πr²。
其实阿基米德利用了微分思想——无限分割。局限于时代，当时微积分还没产生，产生之后，圆的面积公式……更好算了，好不好！只不过式子有点儿长，看起来挺吓人的。其实就是解个题，只需要做一些推导。这里用到了定积分和三角函数的变换，我之前有文章分享过。微积分就是个工具，且是很好用的工具。如果想了解更多，推荐一本入门书《疯狂微积分》。
球的表面积
有了面积，我们再说说球的表面积。球体的表面积阿基米德还是很天才地想出了证明方法。他设计了一些三角形，这些三角形围绕直径旋转，就有了球体的内接多边形。然后把内接多边形的表面积相加近似，得出了球体的表面积。
还是微积分思想。阿基米德的开创想法，不是人人都行。但是有了微积分，好多人都仿佛有了阿基米德的能力。咱们来看。以上图片来自《数学与生活》这本书。这里用了定积分。看最后这个公式，是从a积分到b，而球体的面积则是从-r积分到r。代入到最后这个式子之后，就是球体表面积4πr²。
球的体积
体积呢？阿基米德是用浮力，计算相当复杂。还是硬算。把球体分成小切片，然后放到水中，观察水里每个小切片所占的体积和产生的浮力，以及容易液体水位的升高。可见这个过程是非常复杂的，咱们没有那个金刚钻，但是咱们可以用微积分这个工具，用上微积分就简单许多。这里要用到微积分的核心公式——牛顿莱布尼茨公式，又叫基本公式。有机会我再写写，这个基本公式可谓是屠龙刀，让普通人的数学功力，硬生生提高了。