球面积推导公式详解

球面积推导公式详解

球面积的推导是一个经典的数学问题，古希腊几何学家欧都克斯提出的逼近法为我们提供了一个巧妙的解决方案。本文将详细介绍这个推导过程，从逼近原理出发，逐步推导出球带面积公式，最终得到球面面积公式。

逼近原理

设 $\alpha ,\text{}{\alpha }^{\prime }$ 是两个实数，假如它们同时被一个递增数列 $\left\{{a}_{n}\right\}$ 和一个递减数列 $\left\{{b}_{n}\right\}$ 所左右夹逼，而且 $\left({b}_{n}-{a}_{n}\right)$ 在 $n$ 增大时，可以任意小，即

${a}_{1}\le {a}_{2}\le \cdots \le {a}_{n}<\cdots <\alpha ,\phantom{\rule{1em}{0ex}}{\alpha }^{\prime }<\cdots \le {b}_{n}\le \cdots \le {b}_{2}\le {b}_{1}$

且当 $n$ 无限增大时，$\left({b}_{n}-{a}_{n}\right)\to 0$ ，则 $\alpha$ 必须等于 ${\alpha }^{\prime }$ ．

换句话说，上述左右夹逼数列唯一地确定了界于其间的那个实数 $\alpha$ ．为了求得球面积的部分面积计算公式，我们还需要下面的预备知识．

定义与推论

定义

如果平面内的一条折线，它所有的边都相等，并且相邻两边的夹角也都相等，那么这个平面折线叫做正折线。

推论

正折线都有一个中心，它是到正折线各顶点距离都相等，并且到各边距离相等的一个点．

引理 1

一条线段绕着和它在同一平面内并且至多有和它的一个端点相交的轴旋转所生成的旋转面的面积（即圆柱，圆雉，圆台的侧面积）等于一个圆柱的侧面积，这个圆柱的高等于这线段在轴上的射影，而它的底面半径等于以母线为底边，两顶点在轴上的等腰三角形的高．

已知：如图 2.55 所示，线段 $AB$ 与轴 $XY$ 在同一平面内，$MR$ 垂直平分线段 $AB$ 于 $M$ ，且与 $XY$ 轴交于 $R,CD$ 是 $AB$ 在 $XY$ 上的射影，$MO\perp XY$于 $O,{S}_{AB}$ 是线段 $AB$ 旋转面的面积

求证：${S}_{AB}=2\pi MR\cdot CD$

证明：

1．若线段 $AB//XY$ ，则 $CD=AB,MO$ 与 $MR$ 重合，

$\begin{array}{ll}\because & MR=BD,\phantom{\rule{1em}{0ex}}AB=CD\\ \therefore & {S}_{\text{圆杜侧}}=2\pi BD\cdot AB=2\pi MR\cdot CD\end{array}$

2．若线段 $AB$ 的端点 $A$ 在 $XY$ 上，

$\begin{array}{rl}& \because \phantom{\rule{1em}{0ex}}\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }RMO,\phantom{\rule{1em}{0ex}}\mathrm{\angle }MOR=\mathrm{\angle }BDA={90}^{\circ }\\ & \therefore \phantom{\rule{1em}{0ex}}\mathrm{△}OMR\sim \mathrm{△}DAB\\ & \therefore \phantom{\rule{1em}{0ex}}\frac{MR}{AB}=\frac{MO}{AD}=\frac{BD}{2AD},\phantom{\rule{1em}{0ex}}2MR\cdot AD=AB\cdot BD\\ & \therefore \phantom{\rule{1em}{0ex}}{S}_{\text{圆锥侧}}=\pi BD\cdot AB=2\pi MR\cdot CD\left(A\text{点与}C\text{点重合}\right)\end{array}$

3．若线段 $AB$ 不平行 $XY$ 又不与 $XY$ 相交，作 $AE//XY$ 设与 $BD$ 交于 E．

$\begin{array}{ll}\because & \mathrm{\angle }BAE=\mathrm{\angle }RMO,\phantom{\rule{1em}{0ex}}\mathrm{\angle }MOR=\mathrm{\angle }AEB={90}^{\circ }\\ \therefore & \mathrm{△}AEB\backsim \mathrm{△}MOR\\ \therefore \phantom{\rule{1em}{0ex}}AB\cdot MO=AE\cdot MR\\ \because & AE=CD\\ \therefore \phantom{\rule{1em}{0ex}}AB\cdot MO=CD\cdot MR\\ \therefore \phantom{\rule{1em}{0ex}}& {S}_{\text{圆台侧}}=2\pi MR\cdot CD\end{array}$

本引理的结论可以看成是求圆柱，圆雉，圆台侧面积的一般公式．

引理 2

一条正折线，绕着轴（这个轴是一条在折线所在平面内的直线，它过折线的中心并且不穿过折线）旋转所得的旋转体的侧面积等于一个圆柱的侧面积，这个圆柱的底面半径等于折线的边心距，而高等于折线在旋转轴上的射影。

已知：一条正折线 $ABCDE$（图 2．56）绕着过折线中心 $O$ 的轴 $XY$ 旋转，所得的旋转面面积如图 2.57 所示，设它为 $S$ ；令 $h=OM=ON=OP=OQ$表示折线的边心距；用 $ab,bc,cd,de$ 分别表示线段 $AB,\text{}BC,\text{}\dots DE$ 在轴 $XY$上的射影。

求证：$S=2\pi h\left(ae\right)$

证明：当正折线 $ABCDE$ 旋转时，它的每一条边，便分别画出一个圆雉，圆台或者圆柱的侧面，根据圆柱，圆雉，圆台的求侧面积的一般公式，正折线的边 $AB,\text{}BC,\text{}CD$ 和 $DE$ 旋转所得的旋转面的面积分别等于 $2\pi h\left(ab\right),\text{}2\pi h\left(bc\right)$ ， $2\pi h\left(cd\right)$ 和 $2\pi h\left(de\right)$ ．因此：

$S=2\pi h\left(ab+bc+cd+de\right)=2\pi h\cdot \left(ae\right)$

我们可以把球面积看作半圆弧绕着它的直径旋转所得的面积，因为这半圆弧的内接正折线与外切正折线绕着直径旋转所得的面积是可求的（如前段所述），故我们先用半圆弧的内接正折线和外切正折线来夹逼这圆弧，当边数 $n$增多时，相应的内接正折线增大，愈来愈贴近半圆弧，而相应的外切正折线减小，也愈来愈贴近半圆弧，这就是说，内接正折线绕直径旋转所得面积数列与外切正折线绕直径旋转所得的面积数列，从左，右两方面愈来愈逼近球面积的值，从而我们就可以得到球面积公式。

为了以后讨论方便起见，我们先考虑半圆弧的一部分绕着该半圆弧的直径旋转所得的球的部分面积公式．

如图 2．58，圆弧 $AE$ 绕着和它不相交的直径旋转所得部分球面，如图 2.59所示．这部分平面可以用两个平行平面截球面得到。我们把夹在平行平面之间的球面部分叫做球带，两个平行截面间的距离叫做球带的高，记作 $h$ ．

作圆弧 $AE$ 的内接正 $n$ 边折线和外切正 $n$ 边折线，$a,\text{}e$ 两点是圆弧 $AE$的两端在直径 $KL$ 上的正射影。于是圆弧 $AE$ 的内接正 $n$ 边折线在直径 $KL$上的射影是线段 $ae$ ，它是一个与边数 $n$ 无关的定值，即 $ae=h$ ．

设 ${h}_{n}$ 为 $\stackrel{^}{AE}$ 的内接正 $n$ 边折线的边心距．${\sigma }_{n}$ 为内接正 $n$ 边折线绕直径 $KL$ 旋转所得的面积．半径 $R$ 是 $\stackrel{^}{AE}$ 的外切正 $n$ 边折线的边心距．线段 ${a}^{\prime }{e}^{\prime }$

是外切正 $n$ 边折线在直径 $KL$ 上的正射影．${S}_{n}$ 为外切正 $n$ 边折线绕直径 $KL$旋转得到的面积．${S}_{\text{球带}}$ 为圆弧 $AE$ 绕直径 $KL$ 旋转得到的球带面积。根据几何直观，我们得到

1．当边数 $n$ 增加时，${\sigma }_{n}$ 递增，${S}_{n}$ 递减．

2．${\sigma }_{n}<{S}_{\text{球带}}<{S}_{n}$ ，且由引理 2 可知：

${\sigma }_{n}<2\pi {h}_{n}\left(ae\right)=2\pi {h}_{n}h,\phantom{\rule{1em}{0ex}}{S}_{n}=2\pi R\left({a}^{\prime }{e}^{\prime }\right)$

显然，${h}_{n}$ 随着 $n$ 增大而增大，而且趋近于 $R$ ，换句话说，$\left(R-{h}_{n}\right)$ 可以任意小，即 $\left(R-{h}_{n}\right)\to 0$ 。

现在我们要进一步说明 ${a}^{\prime }{e}^{\prime }$ 随 $n$ 增大而减小，并且趋近于 $ae=h$（球带高）。

换言之，${a}^{\prime }{e}^{\prime }-h$ 可以任意小，即 $\left({a}^{\prime }{e}^{\prime }-h\right)\to 0$ ．因为，内接正折线与外切正折线对于圆心是位似形，其相似比是 $\frac{R}{{h}_{n}}$ ，由此得

$\frac{{a}^{\prime }{e}^{\prime }}{ae}=\frac{R}{{h}_{n}}>1,\phantom{\rule{1em}{0ex}}{a}^{\prime }{e}^{\prime }=\frac{R}{{h}_{n}}\cdot h$

当 $n$ 增大时，${h}_{n}$ 增大并且趋近于 $R$ ，于是 ${a}^{\prime }{e}^{\prime }$ 减小，并且愈来愈趋近 $ae=h$ ．这样我们就得到：

${\sigma }_{n}=2\pi {h}_{n}\cdot h<{S}_{\text{球带}}<2\pi R\left({a}^{\prime }{e}^{\prime }\right)=S$

且当 $n$ 增大时，${h}_{n}\to R,{a}^{\prime }{e}^{\prime }\to h$ ．

最后，我们要说明，当 $n$ 增大时，${S}_{n}-{\sigma }_{n}$ 可以小到任意小．

$\begin{array}{rl}& \because \phantom{\rule{1em}{0ex}}\frac{{S}_{n}}{{\sigma }_{n}}=\frac{R\left({a}^{\prime }{e}^{\prime }\right)}{{h}_{n}\cdot h}=\frac{R}{{h}_{n}}\cdot \frac{{a}^{\prime }{e}^{\prime }}{h}=\frac{{R}^{2}}{{h}_{n}^{2}},\phantom{\rule{1em}{0ex}}\frac{{S}_{n}-{\sigma }_{n}}{{S}_{n}}=\frac{{R}^{2}-{h}_{n}^{2}}{{R}^{2}}\\ & \therefore \phantom{\rule{1em}{0ex}}{S}_{n}-{\sigma }_{n}={S}_{n}\frac{\left(R+{h}_{n}\right)\left(R-{h}_{n}\right)}{{R}^{2}}\\ & \text{又}\because \phantom{\rule{1em}{0ex}}{S}_{n}<{S}_{1},{h}_{n}<2R\\ & \therefore \phantom{\rule{1em}{0ex}}{S}_{n}-{\sigma }_{n}<\frac{2{S}_{1}}{R}\left(R-{h}_{n}\right)\end{array}$

故：当 $n$ 增大时，$R-{h}_{n}$ 可任意小，从而，${S}_{n}-{\sigma }_{n}$ 可以任意小．这就是

另一方面，由 ${h}_{n}\to R,{a}^{\prime }{e}^{\prime }\to h$ ，我们看出，恒有

${\sigma }_{n}=2\pi {h}_{n}\cdot h<2\pi R\cdot h<2\pi R\left({a}^{\prime }{e}^{\prime }\right)={S}_{n}$

根据逼近原理知

${S}_{\text{球带}}=2\pi R\cdot h$

于是我们得到下面的定理．

定理

球带的面积等于截成它的球面上大圆周长与球带的高的积．即

${S}_{\text{球带}}=2\pi R\cdot h$

如果截球的两个平行平面都成为球的切面，那么 $ae=$ 直径 $=2R$ ．那么球带就变成了整个球面，所以球面积 ${S}_{\text{球}}=2\pi R\cdot 2R=4\pi {R}^{2}$ ．

由此，我们得到下面定理。

定理

球面面积等于它的大圆面积的四倍，即

${S}_{\text{球面}}=4\pi {R}^{2}$