三角函数诱导公式

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三角函数诱导公式

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CSDN

https://blog.csdn.net/jf_52001760/article/details/138334591

三角函数诱导公式是数学中一个重要的知识点，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。掌握这些公式不仅能帮助我们更好地理解三角函数的性质，还能在实际问题中简化计算过程。本文将详细介绍三角函数的诱导公式及相关定理，帮助读者系统地掌握这一知识点。

三角函数公式集合

1. 两角和差公式

两角和（差）公式包括两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。两角和与差的公式是三角函数恒等变形的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的。

(1) 正弦两角和差：
$$
\begin{aligned}
sin(α+β) &= sinαcosβ+cosαsinβ \
sin(α-β) &= sinαcosβ-cosαsinβ \
\end{aligned}
$$

(2) 余弦两角和差：
$$
\begin{aligned}
cos(α+β) &= cosαcosβ-sinαsinβ \
cos(α-β) &= cosαcosβ+sinαsinβ \
\end{aligned}
$$

(3) 正切两角和差：
$$
\begin{aligned}
tan(α+β) &= \frac{(tanα+tanβ)}{(1-tanαtanβ)} \
tan(α-β) &= \frac{(tanα-tanβ)}{(1+tanαtanβ)} \
\end{aligned}
$$

2. 倍角公式

倍角公式，是三角函数中非常实用的一类公式。就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。

(1) 正弦倍角：
$$
\begin{aligned}
sin2α &= 2sinαcosα \
\end{aligned}
$$

(2) 余弦倍角：
$$
\begin{aligned}
cos2α &= cos^{2}α-sin^{2}α \
&= 2cos^{2}α-1 \
&= 1-2sin^{2}α \
\end{aligned}
$$

(3) 正切倍角：
$$
\begin{aligned}
tan2α &= \frac{2tanα}{1-tan^{2}α} \
\end{aligned}
$$

3. 半角公式

半角公式（Half angle formula）是利用某个角（如∠A）的正弦值、余弦值、正切值，及其他三角函数值，来求其半角的正弦值，余弦值，正切值，及其他三角函数值的公式。

(1) 正弦半角：
$$
\begin{aligned}
sin(\frac{α}{2}) &= \sqrt{\frac{1-cosα}{2}} \
\end{aligned}
$$

(2) 余弦半角：
$$
\begin{aligned}
cos(\frac{α}{2}) &= \sqrt{\frac{1+cosα}{2}} \
\end{aligned}
$$

(3) 正切半角：
$$
\begin{aligned}
tan(\frac{α}{2}) &= \sqrt{\frac{1-cosα}{1+cosα}} \
\end{aligned}
$$

4. 诱导公式

诱导公式是指三角函数中，利用周期性将角度比较大的三角函数，转换为角度比较小的三角函数的公式，诱导公式有六组，共54个。

(1) 符号规律：
$$
\begin{aligned}
sin(-α) &= -sin(α) \
cos(-α) &= cos(α) \
tan(-α) &= -tanα
\end{aligned}
$$

(2)$\frac{\pi}{2}-α$规律：
$$
\begin{aligned}
sin(\frac{\pi}{2}-α) &= cos(α) \
cos(\frac{\pi}{2}-α) &= sin(α) \
tan(\frac{\pi}{2}-α) &= cot(α)
\end{aligned}
$$

(3)$\frac{\pi}{2}+α$规律：
$$
\begin{aligned}
sin(\frac{\pi}{2}+α) &= cos(α) \
cos(\frac{\pi}{2}+α) &= -sin(α) \
tan(\frac{\pi}{2}+α) &= -cot(α)
\end{aligned}
$$

(5)$π+α$规律：
$$
\begin{aligned}
sin(\pi+α) &= -sin(α) \
cos(\pi+α) &= -cos(α) \
tan(\pi+α) &= tan(α)
\end{aligned}
$$

(6)$π-α$规律：
$$
\begin{aligned}
sin(\pi-α) &= sin(α) \
cos(\pi-α) &= -cos(α) \
tan(\pi-α) &= -tan(α)
\end{aligned}
$$

(7)$2kπ+α$规律：
$$
\begin{aligned}
sin(2k\pi+α) &= sin(α) \
cos(2k\pi+α) &= cos(α) \
tan(2k\pi+α) &= tan(α)
\end{aligned}
$$

注意 $k$ 不能为 0，所以上方的$π+α$不符合此规律。