机器学习中的概率论与数理统计基础
机器学习中的概率论与数理统计基础
概率论与数理统计是机器学习的重要基础，本文将从条件概率、贝叶斯定理、概率分布、最大似然估计、正则化等核心概念出发，系统地介绍机器学习中常用的概率论和数理统计知识。
条件概率
条件概率是概率论中的一个核心概念，用于描述在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。设A和B是两个事件，其中P(B) > 0，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率记为P(A|B)，其计算公式为：
$$
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
$$
其中，P(A ∩ B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率可以分为独立事件和非独立事件两种情况：
- 独立事件：如果事件A和B相互独立，即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然，则有P(A|B) = P(A)，此时事件A和B的交集为：
$$
P(A \cap B) = P(A)P(B)
$$
- 非独立事件：如果事件A和B相互依赖，即事件A的发生会影响事件B的发生，反之亦然，则有P(A|B) ≠ P(A)，此时事件A和B的交集为：
贝叶斯定理
贝叶斯定理是概率论中的一个重要定理，用于描述在已知某些条件下，事件发生的概率如何更新。设A和B是两个事件，其中P(B) > 0，则贝叶斯定理可以表示为：
$$
P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
$$
其中，P(A|B)是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率；P(B|A)是在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率；P(A)和P(B)分别是事件A和B发生的先验概率。
贝叶斯定理可以分为先验概率、后验概率和自然贝叶斯三种情况：
- 先验概率：在没有观察到任何数据之前，对事件发生的概率的主观判断。
- 后验概率：在观察到一些数据之后，对事件发生的概率的更新。
- 自然贝叶斯：在有多个先验的前提下，假设它们相互独立，利用公式算出来的近似概率。
贝叶斯定理在机器学习中有广泛的应用，例如在条件概率生成像素、条件概率识别图像等场景中。
概率分布
概率分布是描述随机变量取值的概率规律的函数。根据随机变量的类型，概率分布可以分为离散型概率分布和连续型概率分布两种。
离散型概率分布：适用于离散型随机变量，其概率分布可以用概率质量函数（PMF）来描述。概率质量函数表示随机变量取某个特定值的概率，记为P(X = x)。
连续型概率分布：适用于连续型随机变量，其概率分布可以用概率密度函数（PDF）来描述。概率密度函数表示随机变量取某个值区间的概率密度，记为f(x)。需要注意的是，连续型随机变量取某个特定值的概率为0，因此需要通过积分来计算概率。
常见的概率分布包括伯努利分布、二项分布、均匀分布和正态分布等。
- 伯努利分布：描述只有两种可能结果的随机试验的概率分布，例如抛硬币。伯努利分布的概率质量函数为：
$$
P(X = x) = p^x(1-p)^{1-x}
$$
其中，x取值为0或1，p是成功的概率。
- 二项分布：描述在n次独立重复的伯努利试验中，成功次数的概率分布。二项分布的概率质量函数为：
$$
P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
$$
其中，k是成功次数，n是试验次数，p是每次试验成功的概率。
- 均匀分布：描述在某个区间内取值的概率分布，其概率密度函数在一个范围[a, b]为定值：
- 正态分布：描述在自然界和社会现象中常见的钟形曲线概率分布，其概率密度函数为：
其中，μ是对称中心，σ是标准差，直接决定曲线的高度和形状。
最大似然估计
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是一种用于估计统计模型参数的方法。最大似然估计通过找到使得观测数据出现的概率最大的参数值，来估计模型参数。设X1, X2, ..., Xn是来自总体X的样本，θ是总体X的未知参数，L(θ)是似然函数，即样本X1, X2, ..., Xn在参数θ下的联合概率密度函数。最大似然估计的目标是找到使L(θ)最大的θ值，即：
$$
\hat{\theta} = \arg\max_{\theta} L(\theta)
$$
在实际应用中，为了方便计算，通常对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$$
\ell(\theta) = \log L(\theta)
$$
然后求对数似然函数的导数，令导数等于0，解出θ的值。
最大似然估计在机器学习中有广泛的应用，例如在伯努利分布、高斯分布、线性回归等模型的参数估计中。
正则化
正则化（Regularization）是一种用于防止机器学习模型过拟合的技术。过拟合是指模型在训练数据上表现良好，但在新数据（测试集）上表现不佳，即模型过于复杂，以至于捕捉了训练数据中的噪音和细节，无法很好地推广到新的数据。正则化通过在损失函数中增加一个惩罚项，限制模型的复杂度，从而提高模型的泛化能力。
常见的正则化方法包括L1正则化和L2正则化。L2正则化是最常用的一种正则化方法，其惩罚项为模型参数的平方和：
$$
\Omega(\theta) = \lambda\sum_{i=1}^n\theta_i^2
$$
其中，λ是正则化参数，控制惩罚项的强度。
正则化在机器学习中有广泛的应用，例如在多项式拟合、线性回归等模型中。
贝叶斯统计
贝叶斯统计将概率解释为对不确定事件的主观信念或信念程度。它通过更新这种信念来进行统计推断。贝叶斯统计的核心是贝叶斯公式：
$$
P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
$$
其中，P(A|B)是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率；P(B|A)是在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率；P(A)和P(B)分别是事件A和B发生的先验概率。
贝叶斯统计的特点是先验很大程度上影响着后验。在没有任何信息的先验情况下，均匀分布的PDF函数的最大后验就是MLE。如果有充分数据，MLE和MAP估计是一样的。
贝叶斯统计在机器学习中有广泛的应用，例如在贝叶斯网络、贝叶斯优化等场景中。
总结
概率论与数理统计是机器学习的重要基础，本文介绍了条件概率、贝叶斯定理、概率分布、最大似然估计、正则化等核心概念和方法。这些知识在机器学习中有广泛的应用，例如在条件概率生成像素、条件概率识别图像、最大似然估计参数、正则化防止过拟合等场景中。掌握这些知识对于理解和应用机器学习算法具有重要意义。