大学物理中的刚体转动：从基本概念到角动量守恒
大学物理中的刚体转动：从基本概念到角动量守恒
刚体转动是大学物理中的一个重要知识点，涉及角量、力矩、转动惯量、转动动能和角动量等多个核心概念。本文将从刚体的定义出发，系统地介绍这些概念及其相互关系，帮助读者建立完整的知识体系。
概念
刚体：
在外力作用下形状和大小都不改变的物体。可以看作是由许多质点组成的质点系，每个质点称为刚体的质元（质量的微元），内部任意两个质元的距离不改变。
转动：
描述转动在大学物理中引入了一套体系：角量。下面主要介绍角量。
- 角量：描述转动的物理量
物理学中的角量指的是角度、弧度、角速度和角加速度等量。它们可以用物理微积分公式来解释。
弧度（Radian）
弧度是另一种衡量角度大小的量。弧度表示的是弧长与半径之比。在物理微积分中，弧度可以用以下公式进行计算：
θ = s r \theta=\frac{s}{r}θ=rs
其中，θ \thetaθ表示弧度，s ss表示弧长，r rr表示半径。
角速度（Angular Velocity）
角速度是衡量物体旋转快慢的量。它通常用弧度/秒来表示。在物理微积分中，角速度可以通过以下公式进行计算：
ω = d θ d t \omega=\frac{d\theta}{dt}ω=dtdθ
其中，ω \omegaω表示角速度，θ \thetaθ表示角度或弧度，t tt表示时间。
角加速度（Angular Acceleration）
角加速度是衡量物体旋转加速度的量。它通常用弧度/秒^2 来表示。在物理微积分中，角加速度可以通过以下公式进行计算：
α = d ω d t = d 2 θ d t 2 \alpha=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\theta}{dt^2}α=dtdω =dt2d2θ
其中，α \alphaα表示角加速度，ω \omegaω表示角速度，θ \thetaθ表示角度或弧度，t tt表示时间。
v和w互换：
v = w × r
其中w是角速度，r是位矢，v是w和位矢的叉积
力矩相关概念
力矩
力矩是一个物理量，用于描述在旋转运动中力的作用效果大小。它表示力和与之相对应的距离之间的乘积。力矩的定义如下：
M = r × F \boldsymbol{M} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}M=r×F
其中，M \boldsymbol{M}M表示力矩，r \boldsymbol{r}r表示力作用点到转轴的距离，F \boldsymbol{F}F表示力的大小和方向。
力矩的单位是牛·米（N·m），它等于力的单位牛（N）乘以距离的单位米（m）。力矩的方向由右手定则决定。
r方向由转动轴指向力的作用点，所以不难看出力矩垂直于转轴的平面，力矩也被称为“转动力”，是指作用在物体上的力，使得物体围绕给定轴旋转的趋势。它综合考虑了在刚体上受力的大小和受力的位置（在一个刚体上，不同位置的力对系统的作用是不同的，力矩越大）。
可思考点
- 杠杆原理的成因
- 力矩方向的现实意义
转动惯量和转动动能，角动量
定轴转动定律（）
对某一质点：
F i t + f i t = m i a i t F_{it}+ f_{it} = m_ia_{it}Fit +fit =mi ait
因为在角量中力矩和力对标，所以
F i t r i + f i t r i = m i a i t r i F_{it}r_i+ f_{it}r_i = m_ia_{it}r_iFit ri +fit ri =mi ait ri
把线加速度转化为角加速度：
F i t r i + f i t r i = m i r i 2 α F_{it}r_i+ f_{it}r_i = m_ir_i^2\alphaFit ri +fit ri =mi ri2 α
对全部的内外力进行求和
M 合 = ∑ m i r i 2 α M_合= \sum m_ir_i^2\alphaM合 =∑mi ri2 α
对于合外力而言，r是不变的，所以
M 合 = α ∫ r 2 d m M_合= \alpha\int r^2 dmM合 =α∫r2dm
所以其实转动惯量和力矩的关系就类似于力和质量的关系
转动惯量J JJ
转动惯量是描述物体围绕某一轴旋转时，对该轴转动的难易程度的物理量。它的公式为：
J = ∫ r 2 d m J = \int r^2 dmJ=∫r2dm
其中，r rr是指离轴线的距离，m mm是指物体某一部分的质量。转动惯量的单位通常为千克·米²（kg·m²）。
转动动能
力矩做功
刚体上面一个外力F的作用在P点，力臂为r，根据
θ = s r \theta=\frac{s}{r}θ=rs
可得元位移d s = r d θ ds = rd\thetads=rdθ
所以元功d W = F ⋅ d s = F r c o s α d θ dW = F·ds = Frcos\alpha d\thetadW=F⋅ds=Frcosαdθ
因为F r s i n φ Frsin\varphiFrsinφ刚好是力矩，而s i n φ = c o s α sin\varphi = cos\alphasinφ=cosα
所以元功可以写成
d W = M d θ dW = Md\thetadW=Mdθ
而总功就是元功的积分
∫ M d θ \int Md\theta∫Mdθ
从角位置1到角位置2
∫ θ 1 θ 2 M d θ \int_{\theta1}^{\theta2}Md\theta∫θ1θ2 Mdθ
公式可以计算合力矩做的功，也可以计算分力矩做的功，功仍然可以通过代数合的方式得到总功。
转动动能
一般动能公式：E = 1 2 m v 2 E = \frac{1}{2}mv^2E=21 mv2，对于转动动能一样可以类比这样的定义式来推导。
E = 1 2 m v 2 E = \frac{1}{2}mv^2E=21 mv2
转变为角量表示：
E = 1 2 m ( r × w ) 2 E = \frac{1}{2}m(r × w)^2E=21 m(r×w)2
我们希望我们的角速度和线速度一样都能够简洁地表示
E = 1 2 J w 2 E = \frac{1}{2}Jw^2E=21 Jw2
J = m r 2 J = mr^2J=mr2
没错，这就是转动惯量，所以我们可以对比看出，转动惯量对比的就是质量，可以描述在转动过程中惯性。
转动动能定理
转动动能定理是描述旋转物体动能变化的定理,合外力对刚体做功等于刚体转动动能的增量，通常写作：
Δ K = 1 2 J ω f 2 − 1 2 J ω i 2 \Delta K = \frac{1}{2} J \omega_f^2 - \frac{1}{2} J \omega_i^2ΔK=21 Jωf2 −21 Jωi2
其中，Δ K \Delta KΔK表示动能的变化量，I II表示物体的转动惯量，ω i \omega_iωi 和ω f \omega_fωf 分别表示物体转动的初始角速度和最终角速度。
角动量L LL
角动量是描述物体在围绕某一轴旋转时具有的旋转能力的物理量。它的公式为：
质点定义式L = r × P L = r × PL=r×P
L = r × m r ω L = r × mr\omegaL=r×mrω
L = J ω L = J\omegaL=Jω
其中ω \omegaω是角速度，即围绕轴旋转的速率。角动量的单位通常为千克·米²/秒（kg·m²/s）。
上面的推导类比 p = mv
转动惯量越大，说明物体对于该轴的转动越困难，需要更大的力矩才能使其转动起来；而角动量则反映了物体旋转的强弱和方向，它的大小和方向与转动惯量和角速度有关。
用角量计算有一个优势是能够忽视每个质点线速度方向不同的影响,因为ω \omegaω方向是一样的
刚体求角动量:
L = ∑ J ω L = \sum J\omegaL=∑Jω
L = ∫ m r 2 ω d m d r L = \int mr^2\omega dmdrL=∫mr2ωdmdr
角动量守恒
角动量定理
∫ t 1 t 2 M d t = ∫ ω 1 ω 2 d ( J w ) = J ( w 2 − w 1 ) \int_{t1}^{t2}Mdt = \int_{\omega1}^{\omega2}d(Jw) = J(w_2-w_1)∫t1t2 Mdt=∫ω1ω2 d(Jw)=J(w2 −w1 )
角动量守恒
条件:外部的角冲量为0->合外力矩为0->(力为0或者轴点到讨论点合力同向)
L 初 = L 末 L_初 = L_末L初 =L末