自行车骑行功率分配优化：如何在不同坡度路段合理分配功率？

自行车骑行功率分配优化：如何在不同坡度路段合理分配功率？

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https://tieba.baidu.com/p/7195710768

在自行车比赛中，如何合理分配功率以达到最佳成绩？这是一个涉及物理学、数学建模和优化算法的复杂问题。本文将通过建立数学模型，探讨在不同坡度的路段如何分配功率，以实现最短完赛时间。

问题背景

功率分配是自行车比赛中的关键因素。在日常骑游、训练、测试或比赛中，合理分配功率可以使体能效益最大化，使时间最短化。本文将通过建立数学模型，探讨如何在不同坡度的路段分配功率，以实现最短完赛时间。

理想化假设条件

为了简化问题，我们设定以下理想化条件：

• 单次骑行比赛（无休），体能、标准化功率有上限
• 状态为无风，无跟风效益（单飞或TT）
• 骑行姿势固定（风阻受力面积固定）
• 路面滚阻系数固定
• 体重车重固定
• 无过陡下坡（下坡时可保证匀速）
• 全程细分为n段，每一路段内坡度一定，稳定功率匀速骑行

参数定义

涉及的一些参数（可自定义）：

• 路面滚阻系数 kr
• 车手质量 m1
• 车+配件质量 m2
• 总质量 m=m1+m2
• 身高 h
• 重力加速度 g=9.8
• 风阻系数 cd
• 迎风面积比例 ra
• 迎风面积估算 a=(h0.0061+m10.0128-0.1529)*ra
• 空气密度 ρ
• 阈值功率 FTP(1h)
• 设时间加倍时，功率衰减为95%

则固定时间 t 内最大功率 CP(t)=FTP0.95^(ln(t)/ln(2))，如 CP(60min)=FTP，CP(4h)=0.95^2FTP

受力分析

骑行时主要受三种力作用：滚动摩擦力 Fr，重力分量 Fg，风阻力 Fw。

• Fr=krmg*cos(ang)
• Fg=mgsin(ang)
• Fw=1/2cdaρv²

得到功率与速度的函数：

P=Fv=(Fr+Fg+Fw)v=(krmgcos(ang)+mgsin(ang))v+1/2cdaρ*v³

三次方程简写为 P=P(v,α)

令 p=(krmgcos(ang)+mgsin(ang))/(1/2cdaρ)

q=-P/(1/2cda*ρ)

得到速度与功率的函数：

v=(-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)

简写为 v=V(Pw,α)

统计量设定

• 骑行全程长度为 d，总时长因变量为 t，全程分为 n 段，i=1,2,3......n。
• 设第 i 段路长度为 di，坡度为 αi，功率为 Pi，则速度 vi=V(Pi,αi), 时间 ti=di/vi
• 则全程总里程 d=∑(di)
• 总时长 t=∑(ti)
• 平均坡度 α=∑(di*αi)/d
• 平均功率 AP=∑(Pi*ti)/t
• 标准化功率估算 NP=(∑(Pi^4*ti)/t)^(1/4)
• 最大功率 CP=FTP*0.95^(ln(t)/ln(2))

因为 NP 总是小于等于 CP，全程全力骑行时 NP≈CP（或可取 δ→+0，使 CP-δ≤NP≤CP）

模型建立

加一个前提：在任一分段 di，坡度 αi 一定，总输出一定（其中 NPi≤CPi）的情况下，设定功率 Pi 恒定。因为功率越稳定总时长越小，功率波动越大总时长越大，此结论比较直观，证明略。

在其它参数值确定，且分段 Pi＜CPi（不在某一赛段拉爆自己），全程 NP≤CP（全程接近全力输出）的条件下，如何分配各分段功率 Pi（i=1，2，3......n），使得总时长 t 最小。

这是一个多元非线性规划问题，自变量只有 Pi，Pi＞0，将所有参数代入后，可用拉格朗日算法、牛顿法等求得最优解。由于模型函数复杂，目标函数、条件函数均为非线性函数，很难写出明确的最优公式解。

但好在求最优数值解，可以用编程求解工具，比如 fmincon 等，代入条件及目标函数计算即可。

实例分析

例子1

40km比赛，按坡度分为五段，分段不分先后，其中-1度下坡10km，0度平路15km，0.5度上坡10km，5度上坡4km，10度上坡1km；车手设定身高1.8m，70kg，车重10kg，ftp=300W；其它参数取值略。

通过IPOPT求解，最优分配如下：

• -1度下坡段功率264.2W，均速41.3km/h，时间14.5min；
• 0度平路段功率280.6W，均速37.4km/h，时间24.1min；
• 0.5度上坡段功率288.5W，均速35.6km/h，时间16.9min；
• 5度上坡段功率337.9W，均速22.2km/h，时间10.8min；
• 10度上坡段功率354.5W，均速14.2km/h，时间4.2min。

在此分配下完赛时间最短，为1.17474h=70min29sec，CP为296.4W，NP为296.4W，AP为292.3W。

例子2

50km比赛，设定平路45km，3度上坡5km，其它参数与上例一致。

求解得最短时间为1h18min58sec，平路功率287.2W，上坡功率328.9W， 全程AP292.6W，NP293.7W，CP294.0W。

若平路功率降10W，达到272.2W，上坡功率升至338.9W（5km3度上坡，按倍时95%衰减得到的最大可能功率，再高会拉爆），此时全程时间为1h20min22sec，NP283.4W，CP293.5W，比最短时间多1min24sec。

若平路功率加7W，达到294.2W（45km平路最大可能功率，再高会拉爆），上坡功率降至290W，此时全程时间为1h19min12sec，NP293.6W，CP293.9W，比最短时间多14sec。

该例中同样的全力骑行50km，几W的分配差别会导致十几秒、几十秒的差别。当距离、坡度、或是瓦数分配差别增大时，时间差距也会更大。

结论

通过以上分析，我们可以得出以下结论：

1. 为了全程时间最短，坡度越小的赛段，分配的功率应该低一些；坡度越大的赛段，分配的功率应该越高一些。
2. 功率分配需要合理，不能过低，也不能过高，否则会影响整体表现。
3. 即使是几瓦的功率分配差异，也可能导致十几秒甚至几十秒的时间差距。

实践建议

1. 对于专业车手和骑行爱好者来说，可以尝试使用类似 Best Bike Split 的网站进行功率分配优化计算。
2. 在实际比赛中，可以根据赛道路况和自身能力，参考本文的结论进行功率分配。
3. 不要盲目追求高功率输出，合理分配才能达到最佳成绩。