边长为1的正方形，是所有面积公式的基础：面积的底层逻辑
边长为1的正方形，是所有面积公式的基础：面积的底层逻辑
在数学的世界里，面积的计算是一个基础且重要的概念。从最简单的矩形面积公式到复杂的微积分计算，一切似乎都离不开一个最简单的图形——边长为1的正方形。本文将带你探索这个看似简单却蕴含深意的几何图形，揭示它在面积计算中的核心地位。
01 回忆
让我们从最基础的矩形面积公式开始。矩形的面积公式是：
s = ab
其中，a和b分别是矩形的长和宽。课本引导我们通过以下步骤理解这个公式：
- 把矩形分成面积是1厘米的正方形小块；
- 然后算一算矩形里有多少这样的小块；
- 有多少个，矩形面积就是多少。
接着，我们来到了正方形面积。同理，s=ab,只是这里，a=b。
平行四边形的面积，我们可以利用割补三角形的方法来求出。如下图，割补后，是不是得到了一个矩形？只不过这里的ab，换成了底乘高。而三角形的面积则是½ah。最好理解的方式是:把一个正方形裁成两个相等的直角三角形。
按照同样的思路，我们来到平行四边形。
- 画一个平行四边形，可以把它分成两个相等的三角形。
- 或者反过来，拿任意两个全等三角形，可以拼成一个平行四边形。
后一条，是个很重要的考点。小学生的课本上有，在题目中也会出现。比如：四年级下册学三角形和平行四边形时，课本会让孩子们拼一拼。我孩子在拼的时候，只看出了梯形，我就给她剪了全等的三角形让她试。最终，她得出结论：两个全等的三角形（两个全等的梯形）能拼成平行四边形。
练习题中也有类似的概念辨析。这个时候不妨给孩子讲讲：为什么全等的三角形或者梯形可以拼成平行四边形。因为：
- 平行判定——内错角相等两直线平行。
- 全等就意味着对边相等，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
到这里，为什么梯形面积是【（上底+下底）x高÷2】，你应该可以看明白了。（上底+下底＝平行四边形边长 x高不用解释。÷2正好是一个梯形的面积）
小学的面积公式，也就这些了。
- 这些公式的推导大都以矩形面积公式为基础；
- 而矩形面积公式，又源自边长为1厘米的正方形。
在这里，边长为1厘米的正方形是基准。
02 最初的最初
其实，给小学生讲解面积时借用的小正方形，来自于面积的定义。
- 面积，表示一个平面图形或物体表面的大小。
- 在数学中，面积通常用平方单位来度量，例如平方米、平方厘米等。
- 在欧氏几何中，单位面积就是指一个边长为1的正方形的面积——只不过有时候是边长是1米、有时候是1厘米、有时候是1毫米。
也就是说：单位面积本就是指边长为1的小正方形。它是面积的衡量尺度。
现在闭环了。只是还有一片阴云：我们上面说的都是规则图形。不规则的图形呢？也可以用正方形来衡量。比如，一个曲曲绕绕的图形。
怎么衡量？——切分。
- 大的地方我们用单位是1厘米的正方形；
- 小的地方我们用单位是1毫米的正方形；
- 再小我们用单位是1微米的超小正方形……
就这样无限切分下去。看出来没有？计量单位就是这么来的。1米不能衡量比它短的长度，就把1米分成10分米；1分米再分成10厘米，1厘米分成10毫米……于是，我们也有了小数。这也是微积分的思想。
很早很早以前，三角形、四边形、甚至多边形的面积，古人就能算了。多边形只要边是平滑的，大不了多分几个三角形嘛。不平滑的，就要想办法了。还是切分。如下图：
- 把不规则图形，用矩形来近似；
- 我们可以把它切分成很多超小的矩形；
- 超小的矩形又是由超小的正方形组成的。
正是利用这种思想，天才的阿基米德计算出了圆的周长、面积和表面积。
03 后来的后来
想必你是看出来了：
- 不是人人都是阿基米德。
- 让我们每个人都去逼近，算个普通的面积还行，弯弯绕绕的肯定能算傻。
别担心，自有大神替你负重前行。来到牛顿和莱布尼茨的时代，它们各自独立发明了微积分。把逼近，加和的过程推导出一个固定公式——微积分基本公式就这么诞生了。就是下图这个公式。用它来算面积，十分好用。可以说，它是计算面积最好的、最方便的公式。原则上，一个合格的高中生要会使用它。
我们举个例子。下图中两个函数所围成的面积，不好算。我们把两个函数当成导函数，找出它们的原函数。然后代入基本公式，答案就出来了，so easy！
通常这样的题在高考中是一个5分的填空题。再看一个题目。有了微积分基本公式，我们就不用割补、切分了，圆的面积只需要演算。这种演算，平时也会让高中生训练。出现在高考中，日常必须训练，意思很明显：不会逼近没关系，有现成的公式，得会使用。就像发明电脑对你来说很难，但别人发明出来，我们学会用还是相对容易的。这也是大多数数学家的目的：找到更多的数学模型、数学工具，方便大家使用。
那么，我们的小正方形就是工具之一，也是面积的起源。起初它用来算普通面积，后来它被应用于推导微积分基本公式。看，在工具的基础上又迭代了其他工具。数学就这么交织着，走到今天。
总结：
- 小学期间的面积公式依赖于矩形；
- 矩形面积公式则是由单位正方形推导而来；
- 单位正方形还在逼近法中，用来衡量不规则图形的面积；
- 基于这个工具，又跳到了微积分基本公式。
工具里，蕴藏着数学思维。数学思维并不高深，无非是你能不能用工具解决数学问题。数学里有许多小工具，而数学又是一类工具的统称。请记住这些。下次你再去看数学概念的时候，会有许多新发现。