微分几何：从古典到现代的发展历程
微分几何：从古典到现代的发展历程
微分几何研究微分流形的几何性质，是现代数学中一主流；是广义相对论的基础，与拓扑学、代数几何及理论物理关系密切。古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。欧拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何（实际上黎曼提出的是芬斯勒几何），这成为近代微分几何的主要内容，并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。
教师团队
贺群
职称：教授
单位：同济大学
部门：数学系
职位：教授
微分几何的历史
起源
微分几何的产生和发展是和微积分密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。十九世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了他的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。
发展
1827年，德国数学家高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了曲面论的基础。高斯抓住了微分几何中最重要的概念和根本性的内容，建立了曲面的内蕴几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲线的长度、两条曲线的夹角、曲面上的某一区域的面积、测地线、测地曲率和总曲率等等。
1854年德国数学家黎曼在他的就职演讲中将高斯的理论推广到n维空间，这就是黎曼几何的诞生。其后许多数学家，包括Beltrami，Christoffel，Lipschitz，Bianchi，Ricci开始沿着黎曼的思路进行研究。其中Bianchi是第一个将“微分几何”作为书名的作者。
基本内容
微分几何学以光滑曲线（曲面）作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。
在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。
在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。
在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。
应用与影响
近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何和拓扑学、变分学、李群理论等有了密切的关系，这些数学领域和微分几何互相渗透，已成为现代数学的中心课题之一。
微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分几何学的理论。
微分几何学的研究对数学其他分支以及力学、物理学、工程学等的影响是不可估量的。如：伪球面上的几何与非欧几何有密切关系；测地线和力学、变分学、拓扑学等有着深刻的联系，是内容丰富的研究课题。这方面有以J.阿达马、H.庞加莱等人为首的优异研究。极小曲面是和复变函数论、变分学、拓扑学关系极为深刻的研究领域，K.魏尔斯特拉斯、J.道格拉斯等人作出过卓越贡献。
微分几何学的研究工具大部分是微积分学。力学、物理学、天文学以及技术和工业的日益增长的要求则是微分几何学发展的重要因素。尽管微分几何学主要研究三维欧几里得空间中的曲线、曲面的局部性质，但它形成了现代微分几何学的基础则是毋庸置疑的。因为依赖于图形的直观性及由它进行类推的方法，即使在今天也未失其重要性。