突破几何维度，拓扑光学体系中合成维度方法的进展

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@小白创作中心

突破几何维度，拓扑光学体系中合成维度方法的进展

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https://m.opticsjournal.net/CL/qbw/News/PT211201000013z6B9.html

近年来，光子学中的合成维度研究取得了重要进展。通过引入合成维度的概念，研究者可以在低的几何维度上研究高维度的物理问题，这为简化系统设计、观察高维物理现象提供了便利。本文概述了光子学中合成维度的基本概念，回顾了近年来实现合成维度的各种设计方案，并初步探讨其在基础物理研究和应用上的未来前景。

1. 背景

常见的光学系统有0维的微腔、1维的波导、2维的平面光子晶体、3维的超构材料等等，它们对应的物理系统的维度分别为0维、1维、2维和3维。当然利用2维光子晶体也可以构建1维的波导，这个时候物理系统的维度就小于其几何结构维度。可以看出，通常情况下物理系统的维度都是小于或等于其几何维度的。

然而最近的研究表明，通过引入合成维度的概念，研究者可以在低的几何维度上研究高维度的物理（图1）。例如，在一个D维的几何空间上，引入d个合成维度，就能模拟一个有着D+d个等效空间维度的系统。在此基础上，研究者就可以构建高维的物理系统并加以研究。

图1 合成晶格示意

2. 构造合成维度的方法

在光子学中，常见的构成合成维度的方法大体上可以分为两类。一类是构造人工晶格结构。另一类是引入系统的参数。

2.1 构造光子态的人工晶格

通过构造人工晶格的方法来构成合成维度，需要两个关键要素：首先需要一系列光子态，二是将这些光子态耦合起来的机制。光子学为构造人工晶格提供了丰富的可能。光子系统的物理态，包括光子模式的轨道角动量、频率自由度等等，而且广义上不同的时域脉冲也可以看作不同的物理态。

例如，考虑一束围绕环状腔的光，它支持不同的腔共振模式，其横向分布是非零的轨道角动量（OAM）（图2）。一般来说，这些腔膜的共振频率取决于相应回旋光束的的轨道角动量。然而，通过特殊的设计，人们可以构造出一个简并的光学腔，使得它所支持的不同OAM的光束具有相同的频率。在这样的简并光学腔内，人们就可以引入一个包含空间光调制器的辅助腔，将部分OAM为l的光与OAM为l-1和l+1的光耦合起来构成晶格。这里的光子态是不同OAM的光子态，耦合机制是引入空间光调制器，由此构造出OAM这个合成维度。

图2 利用环形腔构造合成轨道角动量维度

如图3所示，考虑一个由单模波导组成的静态谐振环，谐振环支持一系列谐振模式。在零色散频率ω0附近，不同的谐振模式形成一个等间距的频率梳。当给谐振环加入一个动态调控，其调制范围内的介电常数会发生变化。若将调控频率设为自由光谱程，对第m阶模式，诱导的极化场将会共振激发m+1阶和m-1阶模式，同时耦合会携带相应的调控相位。这里的光子态是不同频率的光子态，耦合机制是引入电光调制器，由此构造出频率这个合成维度。

图3 利用谐振环构造合成频率维度

考虑两个不同长度的光纤回路，它们由一个50/50的耦合器连接（图４）。一个光脉冲入射进一个回路后会被耦合器分成两个脉冲，一个围绕长回路，另外一个围绕短回路。分束后，光围绕长短回路走一圈又各自回到耦合器，然后再次被耦合器分束，如此往复。每个脉冲的到达时间可以重新解释为沿着合成维度的位置索引。这些时域脉冲的演化可看作一个粒子在1维人工晶格（由n标志）上的随时间的运动（沿m轴）。这里的光子态是不同时域的光子脉冲，耦合机制是引入耦合器，由此构造出时间这个合成维度。

图4 利用多个时域脉冲构造人工光学晶格

光子学为构造人工晶格创造了无限可能，其基本思想就是设计各种光子态之间特定的耦合。光子所具有的多种自由度，以及各种光子态之间的耦合机制，为人工晶格的实现提供了广阔的平台。

从构造人工晶格的要素上来说，在光子学中，在合成维度上形成的分立晶格的数目可以非常多，基于合成维度所形成的大的合成空间，非常适合用来对一些体块物理效应进行模拟和论证。光子态之间的最近邻耦合，可形成合成维度上的紧束缚模型；光子态的长程耦合，可用来构造拓扑平带。此外，在合成维度上也能便捷地引入边界，可以通过调制谐振环或者波导的群速度色散，或者利用记忆效应设计特别的边界。

光学人工晶格一个重要的应用优势在于等效规范势的构造上。构造光学人工晶格的各种方法，天然具备了控制晶格间耦合相位的能力，因此非常适合用来产生对光子的等效规范势，以便灵活地操纵光子，在合成空间实现诸如单向拓扑保护边界态、布洛赫振荡等现象。

光学人工晶格的另一大优势在于对拓扑物理学的研究提供了丰富的实现方法。拓扑物理学的效应非常依赖于物理系统的维数。高维的系统往往比低维系统有更丰富的独一无二的特性，但其所需的光学结构却受制于复杂困难的实验加工。合成维度的出现，为实现这些高维系统提供了巧妙的低维替代体系，甚至能超出现实的三个维度，研究四维或更高维的物理效应。

2.2 利用参数自由度构造合成维度空间

除了用构造人工晶格的方法形成合成维度，还可以利用参数自由度构造合成维度空间。考虑一个物理系统，其哈密顿量H(q)依赖于一个连续变量q。这种系统的参数依赖性可表述为增加一个合成空间自由度q，以之作为原本物理空间之外的一个额外的维度。用这种方法，高维空间的物理得以通过低维物理系统的参数依赖性体现。

由参数哈密顿量描述的系统，人们首先想到使单个物理结构的参数随时间改变来研究高维的物理，即考察含时参数系统的动力学问题。例如，在有限大小的Aubry–André模型中，假设在时刻t，系统是一个边界态，处于1维格点的其中一个边界，将在位势相位随时间绝热演化后，这个模式也会根据边界态的色散进行演化，变成一个体态，之后又以另一个边上的边界态出现。因此，这个1维含时系统物理态的绝热演化提供了对相应的2维系统一个直接的观测手段。

此外，参数变化的多个物理结构也可以用来反映高维物理的性质。如图5(a)所示，考虑一个1维的光子晶体，每个原胞包含四层平板，其厚度由特别引入的结构参数p、q控制。该工作在k（1维物理空间波矢）、p、q形成的3维合成参数空间中验证了外尔点的存在, 并在实验上验证了外尔点所带来的参数空间的光学涡旋。在此基础上，还可以在1维PT对称光子晶体中（图5(b)）额外引入另外一个参数γ（折射率虚部的大小）控制系统的非厄米性质，研究4维非厄米合成空间中奇异超曲面的拓扑物理。

图5 基于微纳光纤受激拉曼增益光谱技的氢气探测技术原理及系统