定积分与不定积分：为什么一个需要常数项C，另一个不需要？
定积分与不定积分：为什么一个需要常数项C，另一个不需要？
在高等数学中，定积分与不定积分是两个基本且重要的概念。本文将从两个角度解释为什么不定积分需要添加常数项C，而定积分则不需要。
引言
可能大家看到这个标题会不屑一顾，觉得这个还用你教我吗，高等数学最简单的内容。我今天突然想到一个问题，就是为什么不定积分会有一个常数C出现，这个常数C代表了什么含义呢？这里我将说说个人的看法。
并且我不知道大家有没有想过一个问题，为什么做不定积分的时候我们需要添加常数项C，而当我们做定积分的时候，常数项C就不见了呢？
正文
不定积分
首先，积分很好理解，比如有一个函数f(x) = 2x。其不定积分可以写为：
$$
\int 2x,dx = x^2 + C \tag{1}
$$
这里为什么要加上常数C呢？
理解角度1
根据导数的概念我们知道，常数的导数为0，也就是说，当我们给不定积分加上常数C后，我们再做导数，它会回归被积分函数本身。而常数C可以是任意值，因此，我们为了表示很多个解的集合形式（通解），我们需要添加常数C。
理解角度2
这里我们来看三个函数：
$$
\begin{align}
f(x) &= x^2 \
f(x) &= x^2 + 2 \
f(x) &= x^2 - 2
\end{align}
$$
它们所对应的图像为：
根据导数的定义，导数表示对应点位置处曲线的斜率，那么可以看到，当x坐标相等时，位于三条不同曲线上的点的斜率是一致的。由此，我们可以知道，对f(x) = x^2这条曲线而言，沿着y轴方向上下任意移动任意距离都不会改变曲线上相同自变量对应的导数值。
所以，为了获取通解，我们需要为不定积分的结果添加一个常数项。添加常数项后的解实际是无数个解的集合形式。
定积分
如果我们想要求解其在定义域区间[0, 1]上的定积分，我们可以将f(x) = 2x写为：
$$
\int_{0}^{1} 2x,dx = x^2 \Big|_0^1 = 1^1 - 0^2 = 1 \tag{4}
$$
到这里，没有小伙伴们会觉得奇怪吗？你的不定积分的结果是通解，你加上了常数项C，而你的定积分运算时就不加常数项C了，这是怎么回事，不科学啊！
实际上，（4）式的运算是一个简化过程，实际过程应为：
$$
\begin{align}
\int_{0}^{1} 2x,dx &= \left( x^2 + C \right) \Big|_0^1 \nonumber \
&= 1^2 + C - \left( 0^2 + C \right) \nonumber \
&= 1^2 - 0^2 + C - C\nonumber \
&= 1^2 - 0^2\nonumber \
&= 1 \tag{5}
\end{align}
$$
实际上，在运算中，常数项C被消掉了。虽然常数项C可以取任意值，但是因为一旦被积分函数被给定，那么被积分函数的表达式就是确定的，既然是确定的，那么对应的常数C也就确定了。因此，在（5）式中的前后两个C虽然可以取任意值，但是它们所取的任意值是相等的，因此，可以消去。
至此，我们完全解释了这个问题。
本文原文来自CSDN