滤波器截止频率计算及品质因数Q值解析
滤波器截止频率计算及品质因数Q值解析
滤波器是电子工程领域中常见的电路元件，其主要作用是过滤掉信号中的噪声或特定频率的成分。截止频率是滤波器的一个重要参数，它决定了滤波器开始显著衰减信号的频率点。本文将介绍RC低通滤波器和LC低通滤波器的截止频率计算方法，并简要介绍品质因数Q值的概念及其计算。
RC低通滤波器
图1.1 RC低通滤波器
RC低通滤波器如图1.1所示，电阻R串联电容C，输入电压记为Ui ，输出电压记为Uo。电容的容抗记为：
$$
X_C = \frac{1}{j\omega C}
$$
其中ω = 2πf。
根据串联分压，列出传递函数：
$$
H(j\omega) = \frac{U_o}{U_i} = \frac{1}{1 + j\omega RC}
$$
将上式最右侧的分子与分母各乘以1-jωRC，这样分母变为实数，可得：
计算该复数的模值，即幅频特性：
$$
|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}
$$
复数的模值代表了电压增益，当电压增益下降至-3dB【(0.707)倍】时，即Ac = 0.707*Au，此时的频率f = fc即为截止频率，如下图1.2所示。
图1.2 电压增益-3dB点
截止频率记作fc（f：frequrency，c：cutoff），可得：
$$
|H(j\omega_c)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega_c RC)^2}} = 0.707
$$
通过化简上式，最终可求得截止频率：
$$
f_c = \frac{1}{2\pi RC}
$$
LC低通滤波器
图2.1 LC低通滤波器
LC低通滤波器如图2.1所示，电感L串联电容C，输入电压记为Ui ，输出电压记为Uo。电感的感抗记为：
$$
X_L = j\omega L
$$
电容的容抗记为：
$$
X_C = \frac{1}{j\omega C}
$$
其中ω = 2πf。
对于如图2.1所示的LC低通滤波器，其总阻抗 Z 是电感和电容阻抗的串联：
$$
Z = X_L + X_C = j\omega L + \frac{1}{j\omega C}
$$
将j带到式子外面，转化为纯复数形式：
$$
Z = j(\omega L - \frac{1}{\omega C})
$$
截止频率 fc 是指滤波器开始显著衰减信号的频率。在截止频率处，电感和电容的阻抗相等且互为相反数（即它们的虚部大小相等但符号相反），从而总阻抗的虚部(Image)：
$$
\omega L = \frac{1}{\omega C}
$$
因此，我们设置：
$$
\omega L = \frac{1}{\omega C}
$$
将ω = 2πf代入上式，得到：
$$
2\pi f L = \frac{1}{2\pi f C}
$$
求解左边的方程最终得：
$$
f_c = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
$$
品质因数Q值
谐振品质因数（Quality Factor简称Q值）是衡量谐振电路性能的一个重要参数，它反映了谐振电路在谐振频率附近的能量存储能力和损耗情况，以及滤波器的频率特性和带宽。
对于LC串联电路在发生谐振时，阻抗的模最小，等于电阻 R，电源电压不变的条件下，电路中的电流 I 为最大值：
$$
I_{max} = \frac{V}{R}
$$
当发生谐振时：
$$
\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}
$$
求解左边的方程得到谐振角频率：
$$
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}
$$
设LC串联谐振电路的等效电阻为R，Q值通常定义为：
将：
$$
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}
$$
代入左式，得到：
$$
Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}
$$
化简上一步得到的公式：
$$
Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}
$$
这里我们是通过谐振条件和品质因数的定义推导出来的。
若电路中电阻很小，感抗远大于电阻值，也就是：
$$
X_L \gg R
$$
，则有：
$$
Q \approx \frac{X_L}{R}
$$
因此，串联谐振又称为电压谐振。电容与电感上的电压远大于电源电压，这也是1个弊端，容易造成设备绝缘击穿。