滤波器截止频率计算方法详解
滤波器截止频率计算方法详解
滤波器是电子工程中常用的一种电路元件，用于过滤掉信号中的特定频率成分。其中，低通滤波器是一种常见的滤波器类型，它允许低频信号通过，而阻止高频信号。本文将介绍两种常见的低通滤波器：RC低通滤波器和LC低通滤波器，并讲解它们的截止频率计算方法。
RC低通滤波器
RC低通滤波器由一个电阻R和一个电容C串联组成，如图1.1所示。输入电压记为Ui，输出电压记为Uo。
图1.1 RC低通滤波器
电容的容抗记为Xc，其中ω = 2πf。根据串联分压原理，可以列出传递函数：
$$
H(j\omega) = \frac{Uo}{Ui} = \frac{1}{1 + j\omega RC}
$$
将上式最右侧的分子与分母各乘以1-jωRC，使分母变为实数，可得：
计算该复数的模值，即幅频特性：
$$
|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}
$$
复数的模值代表了电压增益，当电压增益下降至-3dB（即0.707倍）时，即Ac = 0.707*Au，此时的频率f = fc即为截止频率，如下图1.2所示。
图1.2 电压增益-3dB点
通过化简上述公式，最终可求得截止频率：
$$
f_c = \frac{1}{2\pi RC}
$$
LC低通滤波器
LC低通滤波器由一个电感L和一个电容C串联组成，如图2.1所示。输入电压记为Ui，输出电压记为Uo。
图2.1 LC低通滤波器
电感的感抗记为XL，电容的容抗记为XC，其中ω = 2πf。对于如图2.1所示的LC低通滤波器，其总阻抗Z是电感和电容阻抗的串联：
$$
Z = j\omega L + \frac{1}{j\omega C}
$$
将j带到式子外面，转化为纯复数形式：
$$
Z = j(\omega L - \frac{1}{\omega C})
$$
截止频率fc是指滤波器开始显著衰减信号的频率。在截止频率处，电感和电容的阻抗相等且互为相反数，从而总阻抗的虚部为零。因此，我们设置：
$$
\omega L = \frac{1}{\omega C}
$$
将ω = 2πf代入上式，得到：
$$
f_c = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
$$
品质因数Q值
品质因数Q值是衡量谐振电路性能的重要参数，反映了电路在谐振频率附近的能量存储能力和损耗情况。对于LC串联电路在发生谐振时，阻抗的模最小，等于电阻R，电源电压不变的条件下，电路中的电流I为最大值：
$$
I = \frac{V}{R}
$$
当发生谐振时：
$$
\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}
$$
求解左边的方程得到谐振角频率：
$$
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}
$$
设LC串联谐振电路的等效电阻为R，Q值通常定义为：
将ω0代入左式，得到：
$$
Q = \frac{\omega_0 L}{R}
$$
化简上一步得到的公式：
$$
Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}
$$
若电路中电阻很小，感抗远大于电阻值，即XL >> R，则有：
$$
Q \approx \frac{\omega_0 L}{R}
$$
因此，串联谐振又称为电压谐振。电容与电感上的电压远大于电源电压，这也是一个弊端，容易造成设备绝缘击穿。