2024年高考三角函数解题技巧大揭秘！

2024年高考三角函数解题技巧大揭秘！

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http://www.lubanyouke.com/62433.html

2024年高考数学试卷结构迎来重大调整，采用19题结构，其中三角函数作为基础题目，占比约20分，是考生容易得分的重要部分。本文将从三角函数的基础知识、核心解题技巧、典型例题分析以及高考真题解析等多个维度，帮助考生全面掌握三角函数的解题方法。

在深入学习解题技巧之前，我们先回顾一下三角函数的重要公式和恒等变换，这些是解题的基础。

1. 基本三角函数关系

   • sin²x + cos²x = 1
   • 1 + tan²x = sec²x
   • 1 + cot²x = csc²x

2. 两角和差公式

   • sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
   • cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ
   • tan(α±β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)

3. 二倍角公式

   • sin2x = 2sinxcosx
   • cos2x = cos²x - sin²x = 2cos²x - 1 = 1 - 2sin²x
   • tan2x = 2tanx / (1 - tan²x)

4. 辅助角公式

   • asinx + bcosx = √(a²+b²)sin(x+φ)，其中tanφ = b/a

5. 降幂公式

   • sin²x = (1 - cos2x) / 2
   • cos²x = (1 + cos2x) / 2

掌握了解题技巧，可以让我们在考试中事半功倍。以下是几个重要的三角函数解题技巧：

整体换元法

整体换元法是解决三角函数问题的重要方法，特别是在处理含有多个角度的题目时。

例题1： 已知sinx = 1/3，求sin(x1-x2)的值。

解析： 首先，我们发现无法直接求解sinx=1/3的解，但注意到待求式sin(x1-x2)与根的关系。根据对称轴的性质，可知x1+x2=2*对称轴，从而消去一个变量。通过整体换元法，结合诱导公式，可以求得最终结果。

辅助角公式

辅助角公式在求解三角函数的周期、最值、单调区间等问题中有着广泛的应用。

例题2： 求函数y = 3sinx + 4cosx的最小正周期和最大值。

解析： 利用辅助角公式，可以将原函数化为y = 5sin(x+φ)的形式，其中tanφ = 4/3。由此可知，函数的最小正周期为2π，最大值为5。

通过分析典型例题，我们可以更好地理解如何将理论知识应用于实际解题中。

求周期问题

例题3： 求函数y = sin2x + √3cos2x的最小正周期。

解析： 将函数化为y = 2sin(2x+π/3)的形式，可知最小正周期T = π。

求最值问题

例题4： 已知函数f(x) = cos⁴x - 2sinxcosx - sin⁴x，求f(x)在[0, π/2]上的最大值和最小值。

解析： f(x) = (cos²x + sin²x)(cos²x - sin²x) - sin2x = cos2x - sin2x = √2sin(2x - π/4)。在给定区间内，当2x - π/4 = π/2时，f(x)取得最大值√2；当2x - π/4 = -π/4时，f(x)取得最小值-1。

求单调区间

例题5： 已知向量a = (sinx, cosx)，b = (cosx, -sinx)，令f(x) = a·b，求函数f(x)在[0, π]上的单调区间。

解析： f(x) = sinxcosx - cosxsinx = 0，说明函数在给定区间上为常数函数，因此不存在单调区间。

图象变换

例题6： 已知函数f(x) = sin2x + acos2x的图象关于直线x = π/8对称，求a的值。

解析： 将函数化为f(x) = √(1+a²)sin(2x+φ)的形式，其中tanφ = a。由于图象关于x = π/8对称，可知当x = π/8时，函数取得最值，即sin(π/4+φ) = ±1。由此可得φ = π/4，进而求得a = 1。

结合2024年高考真题，我们可以更直观地理解三角函数在高考中的考察方式。

2024年新高考1卷第12题： 已知函数f(x) = sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的最小正周期为π，且f(π/6) = 1，求ω和φ的值。

解析： 由最小正周期为π可知ω = 2。代入f(π/6) = 1，得到sin(π/3+φ) = 1，从而π/3+φ = π/2+2kπ，k∈Z。考虑到|φ|<π/2，可得φ = π/6。

1. 基础知识要扎实：三角函数的公式和性质是解题的基础，必须熟练掌握。

2. 解题技巧要灵活：学会运用整体换元法、辅助角公式等技巧，可以提高解题效率。

3. 计算能力要加强：三角函数题目往往涉及复杂的计算，需要通过大量练习提高计算速度和准确性。

4. 思维导图助理解：通过绘制思维导图，可以帮助我们更好地理解和记忆知识点之间的联系。

5. 真题训练不可少：通过做历年真题，可以熟悉考试题型和难度，提高应试能力。

三角函数是高考数学中的重要考点，也是相对容易得分的部分。通过掌握基础知识和解题技巧，辅以大量的练习和真题训练，相信每位考生都能在这一部分取得理想的成绩。