中考数学因式分解高分秘籍大揭秘！

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https://www.sohu.com/a/781534388_351781

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https://muidar.com/posts/cmuidar/notes-of-polynomial-factorization/

3.

http://www.360doc.com/content/24/0808/10/40557149_1130747310.shtml

4.

http://www.lubanyouke.com/57912.html

5.

https://www.eduease.com/zixun_info-id-107593.htm

6.

https://m.liuchengtu.com/tutorial/yinshifenjie.html

因式分解是中考数学中的一个重要考点，也是许多学生感到头疼的难点。掌握正确的解题方法和技巧，可以让你在考试中游刃有余。本文将为你详细解析8种常见的因式分解方法，并通过历年中考真题进行实战演练，帮助你轻松应对考试，取得高分。

让我们先来看一道2021年广西贺州市的中考真题：

题目：因式分解：(3x^3 - 6x^2 + 3x)。

这道题目看似简单，但其中蕴含了因式分解的基本思路。我们先来分析一下解题步骤：

1. 提取公因式：观察多项式的每一项，可以发现它们都有一个共同的因式 (3x)。因此，我们先提取这个公因式：
   [
   3x^3 - 6x^2 + 3x = 3x(x^2 - 2x + 1)
   ]

2. 完全平方公式：接下来，我们注意到括号内的表达式 (x^2 - 2x + 1) 是一个完全平方式，它可以写成 ((x - 1)^2)。因此，进一步化简得到：
   [
   3x(x^2 - 2x + 1) = 3x(x - 1)^2
   ]

所以，原多项式 (3x^3 - 6x^2 + 3x) 的因式分解结果为 (\boxed{3x(x - 1)^2})。

这道题目考察了学生对因式分解基本方法的理解和应用能力，包括提取公因式以及识别并运用完全平方公式进行分解。掌握这些技巧是解决此类问题的关键。

1. 提公因式法

提公因式法是因式分解的最基本方法，也就是将多项式中每个项都含有的字母、常数和式子提出来。在使用任何其他方法之前，应该先用提公因式法把冗余部分提出，以免影响之后解题。

例题：因式分解 (6x^3y - 9x^2y^2 + 3xy^3)。

解：
[
6x^3y - 9x^2y^2 + 3xy^3 = 3xy(2x^2 - 3xy + y^2)
]

2. 公式法

通过逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。常用的公式有：

1. 平方差公式：(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b))
2. 完全平方公式：(a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2)
3. 立方和与立方差公式：(a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2))
4. 三元完全平方公式：(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)^2)
5. 完全立方公式：(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3) 和 (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3)
6. 欧拉公式及其推论：(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca))

例题：因式分解 (x^2 - 16)。

解：
[
x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)
]

3. 十字相乘法

用十字交叉先来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

例题：因式分解 (x^2 + 5x + 6)。

解：
[
x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
]

4. 分组法

用分组来分解因式的方法叫做分组法。分解步骤：

1. 将多项式按照字母、系数、次数等来分组，分别对每组因式分解，可持续发展。
2. 分组后，用其他方法进一步因式分解。

例题：因式分解 (ax + ay + bx + by)。

解：
[
ax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by) = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
]

5. 主元法

在分解含有多个字母的代数式时，选取其中一个字母为主元（元就是未知数），将其看为常数，把代数式整理为关于主元的降幂排列或升幂排列的多项式，再尝试用其他方法进行分解。

例题：因式分解 (x^2 - mx^2 + mx - 3x + 2)。

解：
[
x^2 - mx^2 + mx - 3x + 2 = (-x^2 + x)m + x^2 - 3x + 2 = -x(x - 1)m + (x - 1)(x - 2) = (x - 1)(-xm + x - 2)
]

6. 拆填项

在对所给多项式因式分解时，若难以直接分组分解时，常可以用拆填项的变形创造出可以提取公因式或运用公式法进行分解的条件，使得原式某些项可以建立练习，便于采用分组法进行因式分解。

例题：因式分解 (a^3 - 4a + 3)。

解：
[
a^3 - 4a + 3 = a^3 - a - 3a + 3 = a(a^2 - 1) - 3(a - 1) = a(a + 1)(a - 1) - 3(a - 1) = (a - 1)(a^2 + a - 3)
]

7. 换元法

换元指的是在因式分解过程中，遇到相同或几个有关联的式子的时候，用其他的未知数（元）来表示。这样做往往会使原式更加清晰，让多项式的项数减少，可以使复杂的问题简单化。

例题：因式分解 ((x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12)。

解：
令 (t = x^2 + x)，则原式变为：
[
(t + 1)(t + 2) - 12 = t^2 + 3t + 2 - 12 = t^2 + 3t - 10 = (t - 2)(t + 5) = (x^2 + x - 2)(x^2 + x + 5) = (x - 1)(x + 2)(x^2 + x + 5)
]

8. 试根法

试根法需要先了解关于x的代数式、余数定理、因式定理等概念。通过尝试不同的根，找到多项式的零点，从而进行因式分解。

例题：因式分解 (x^3 - 6x^2 + 11x - 6)。

解：
通过试根法，可以发现 (x = 1) 是一个根，因此可以将多项式分解为 ((x - 1)(x^2 - 5x + 6))。进一步分解得到：
[
x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)
]

让我们通过几道中考真题，来实际应用这些方法：

题目1：（2023·江苏南京）因式分解：(x^3 - 4x)。

解：
[
x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x + 2)(x - 2)
]

这道题目主要考察提公因式法和平方差公式的应用。

题目2：（2022·浙江杭州）因式分解：(x^2 - 6x + 9)。

解：
[
x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2
]

这道题目考察完全平方公式的应用。

题目3：（2021·四川成都）因式分解：(2x^2 - 4x + 2)。

解：
[
2x^2 - 4x + 2 = 2(x^2 - 2x + 1) = 2(x - 1)^2
]

这道题目考察提公因式法和完全平方公式的综合应用。

1. 观察公因式：在开始因式分解前，先检查是否有公因式可以提取。
2. 灵活运用公式：熟悉各种乘法公式，能够快速识别并应用。
3. 善于分组和换元：对于复杂的多项式，尝试分组或换元简化问题。
4. 掌握试根法：对于高次多项式，试根法是一个有效的分解工具。

因式分解虽然看起来复杂，但只要掌握了这些方法和技巧，就能轻松应对各种题目。记住，实践是最好的老师，多做练习才能真正掌握这些技巧。祝你在中考中取得好成绩！