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快速乘法：让你秒变数学小天才！

创作时间:

作者:

@小白创作中心

快速乘法：让你秒变数学小天才！

引用

CSDN

等

来源

https://blog.csdn.net/2301_80273510/article/details/140086427

https://blog.csdn.net/qq_45638953/article/details/137246596

https://blog.csdn.net/2301_79475128/article/details/137070665

https://blog.csdn.net/qq_51320133/article/details/137370154

https://cloud.baidu.com/article/3108529

https://www.sohu.com/a/826022061_121798711

https://www.cnblogs.com/zcl789456/p/18257824

https://pansci.asia/archives/162365

快速乘法是一种高效计算两个数乘积的算法，通过将乘法分解为一系列加法和位移操作，可以显著减少计算复杂度。这种方法特别适合处理大数或在计算机低层次硬件中优化乘法运算。通过逐位处理并利用二进制特性，快速乘法不仅提高了效率，还简化了代码实现。掌握这种算法，你也能轻松成为数学小天才！

两位数乘法的简便方法

在介绍快速乘法之前，我们先来看看两位数乘法的一些简便计算方法。这些技巧可以帮助我们在日常生活中快速进行心算。

十几乘以十几

口诀：“头加尾，尾乘尾”。例如：

13 × 12 = (1+2)×10 + (3×2) = 156

任意数乘以11

两头拉中间相加。例如：

54 × 11 = 594

如果和超过10则进位。

头同尾合十

头×(头+1)，尾×尾。例如：

36 × 34 = 3×(3+1)×100 + (6×4) = 1224

尾同头合十

(头×头)+尾，尾×尾。例如：

36 × 76 = (3×7)+6 × 100 + (6×6) = 2736

任意两位数相乘

头×头，尾×尾放两边，交叉相乘放中间再相加。

这些方法虽然适用于特定情况，但当遇到更大数字或更复杂的乘法时，就需要更通用的解决方案。这就是快速乘法发挥作用的地方。

快速乘法算法原理

快速乘法（也称为快速幂）的核心思想是通过二进制分解指数来优化幂运算。这种方法可以将时间复杂度从线性降低到对数级别，从而显著提高计算效率。

基本原理

以计算 a^b 为例，将 b 表示为二进制形式。例如，b = 13 的二进制表示为 1101，即 b = 8 + 4 + 1。因此：

a^b = a^(8+4+1) = a^8 * a^4 * a^1

通过这种方式，我们可以将问题分解为更小的子问题，从而减少计算量。

递归实现

递归实现的关键在于将指数不断减半，直到达到基本情况。以下是递归实现的关键代码：

def quick_pow_recursive(base, exp):
    if exp == 0:
        return 1
    temp = quick_pow_recursive(base, exp // 2)
    if exp % 2 == 0:
        return temp * temp
    else:
        return temp * temp * base

迭代实现

迭代实现通过循环和位操作来优化性能。以下是迭代实现的关键代码：

def quick_pow_iterative(base, exp):
    res = 1
    while exp > 0:
        if exp & 1:  # 如果 exp 二进制的最后一位是 1
            res *= base
        base *= base
        exp >>= 1  # 右移一位，相当于除以 2
    return res