高考数学三角函数高分秘籍大揭秘！

高考数学三角函数高分秘籍大揭秘！

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/430181360

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三角函数是高考数学中的重要考点，近五年新高考全国一卷中，三角函数每年都有考查，题型包括选择、填空和解答题，分值在15-22分之间。掌握三角函数的解题方法和技巧，对于提高数学成绩至关重要。本文将为你详细解析三角函数的16个必考题型，并提供详细的解题方法和技巧。

在学习三角函数的解题方法之前，我们需要先掌握一些基础知识。三角函数的核心知识点包括诱导公式、和差角公式、二倍角公式等。这些公式是解题的基础，需要熟练掌握。

1. 诱导公式

诱导公式主要用于将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。常见的诱导公式有：

• sin(-α) = -sinα
• cos(-α) = cosα
• tan(-α) = -tanα
• sin(π/2 - α) = cosα
• cos(π/2 - α) = sinα
• sin(π/2 + α) = cosα
• cos(π/2 + α) = -sinα
• sin(π - α) = sinα
• cos(π - α) = -cosα
• sin(π + α) = -sinα
• cos(π + α) = -cosα

2. 和差角公式

和差角公式用于计算两个角的和或差的三角函数值。常见的和差角公式有：

• sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB
• sin(A - B) = sinAcosB - sinBcosA
• cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB
• cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB
• tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)
• tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)

3. 二倍角公式

二倍角公式用于计算一个角的二倍角的三角函数值。常见的二倍角公式有：

• sin2A = 2sinAcosA
• cos2A = cos²A - sin²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2sin²A
• tan2A = 2tanA / (1 - tan²A)

这些公式是解题的基础，需要熟练掌握。接下来，我们将详细介绍三角函数的16个必考题型。

1. 给角求值

给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数。

例题1：求sin75°的值。

解析：sin75° = sin(45° + 30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30° = (√2/2) * (√3/2) + (√2/2) * (1/2) = (√6 + √2) / 4

2. 给值求值

给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异。一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用。同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的。

例题2：已知sinα = 3/5，α为第二象限角，求cos2α的值。

解析：由sinα = 3/5，α为第二象限角，可得cosα = -4/5。则cos2α = cos²α - sin²α = (-4/5)² - (3/5)² = 7/25。

3. 给值求角

给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性，从而达到解题的目的。在解给值求角的题型时需注意角的范围。

例题3：已知sinα = √2/2，求α的值。

解析：由sinα = √2/2，可得α = π/4 + 2kπ或α = 3π/4 + 2kπ（k∈Z）。

4. 三角式的化简

这类问题主要是利用诱导公式、同角关系式、和与差的公式及倍角公式将较复杂的三角式化得较为简单。化简时注意最简式的五种形式和要求。

例题4：化简sin(π/2 + α)cos(π/2 - α)。

解析：sin(π/2 + α)cos(π/2 - α) = cosαsinα = (1/2)sin2α。

5. 三角恒等式的证明

恒等式的证明，包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种。

• 无条件的等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等。
• 有条件的等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数式的区别及联系，灵活使用条件，变形得证。

例题5：证明sin²α + cos²α = 1。

解析：由勾股定理可知，sin²α + cos²α = 1。

6. 三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质是高考中的重要考点，需要掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像及其性质。

例题6：求函数y = sin(2x + π/3)的周期和最大值。

解析：函数y = sin(2x + π/3)的周期为π，最大值为1。

7. 三角函数的恒等变化

三角函数的恒等变化是高考中的重要考点，需要掌握三角函数的恒等变化公式及其应用。

例题7：化简sin²α + sin²β - 2sinαsinβcos(α - β)。

解析：sin²α + sin²β - 2sinαsinβcos(α - β) = sin²α + sin²β - 2sinαsinβ(cosαcosβ + sinαsinβ) = sin²α + sin²β - 2sinαsinβcosαcosβ - 2sin²αsin²β = sin²α(1 - 2sin²β) + sin²β(1 - 2sin²α) = sin²αcos2β + sin²βcos2α。

8. 三角函数的最值问题

三角函数的最值问题是高考中的重要考点，需要掌握三角函数的最值求解方法及其应用。

例题8：求函数y = sinx + cosx的最大值。

解析：y = sinx + cosx = √2sin(x + π/4)，所以最大值为√2。

9. 三角函数的单调性问题

三角函数的单调性问题是高考中的重要考点，需要掌握三角函数的单调性求解方法及其应用。

例题9：求函数y = sin(2x + π/3)的单调递增区间。

解析：由-π/2 + 2kπ ≤ 2x + π/3 ≤ π/2 + 2kπ（k∈Z），可得-5π/12 + kπ ≤ x ≤ π/12 + kπ（k∈Z）。所以函数y = sin(2x + π/3)的单调递增区间为[-5π/12 + kπ，π/12 + kπ]（k∈Z）。

10. 三角函数的奇偶性问题

三角函数的奇偶性问题是高考中的重要考点，需要掌握三角函数的奇偶性判断方法及其应用。

例题10：判断函数y = sinx的奇偶性。

解析：由sin(-x) = -sinx，可知函数y = sinx是奇函数。

11. 三角函数的周期性问题

三角函数的周期性问题是高考中的重要考点，需要掌握三角函数的周期性求解方法及其应用。

例题11：求函数y = sin(2x + π/3)的周期。

解析：函数y = sin(2x + π/3)的周期为π。

12. 三角函数的对称性问题

三角函数的对称性问题是高考中的重要考点，需要掌握三角函数的对称性判断方法及其应用。

例题12：求函数y = sin(2x + π/3)的对称轴方程。

解析：由2x + π/3 = kπ + π/2（k∈Z），可得x = kπ/2 + π/12（k∈Z）。所以函数y = sin(2x + π/3)的对称轴方程为x = kπ/2 + π/12（k∈Z）。

13. 三角函数的平移问题

三角函数的平移问题是高考中的重要考点，需要掌握三角函数的平移方法及其应用。

例题13：将函数y = sinx的图像向左平移π/3个单位，得到函数y = sin(x + π/3)的图像。

解析：将函数y = sinx的图像向左平移π/3个单位，得到函数y = sin(x + π/3)的图像。

14. 三角函数的伸缩问题

三角函数的伸缩问题是高考中的重要考点，需要掌握三角函数的伸缩方法及其应用。

例题14：将函数y = sinx的图像纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数y = 2sinx的图像。

解析：将函数y = sinx的图像纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数y = 2sinx的图像。

15. 三角函数的复合函数问题

三角函数的复合函数问题是高考中的重要考点，需要掌握三角函数的复合函数求解方法及其应用。

例题15：求函数y = sin(2x + π/3)的复合函数。

解析：函数y = sin(2x + π/3)的复合函数为y = sinu，u = 2x + π/3。

16. 三角函数的应用问题

三角函数的应用问题是高考中的重要考点，需要掌握三角函数的应用方法及其应用。

例题16：一个单摆的摆动角度θ与时间t的关系为θ = 30sin(πt/2)。求当t = 1时，摆动角度θ的值。

解析：当t = 1时，θ = 30sin(π/2) = 30。

1. 观察角的关系：在解题时，首先要观察题目中给出的角的关系，看是否可以通过诱导公式或和差角公式进行化简。

2. 函数名称的差异：注意题目中给出的函数名称的差异，看是否可以通过同角关系式进行转换。

3. 结构特征：分析题目中给出的三角函数式的结构特征，看是否可以通过二倍角公式或半角公式进行化简。

4. 公式法：熟练掌握各种三角函数公式，遇到题目时首先考虑是否可以直接套用公式。

5. 切割化弦法：在处理正切或余切函数时，可以考虑将其转化为正弦或余弦函数。

6. 异名化同名：在处理不同名称的三角函数时，可以考虑将其转化为同一名称的三角函数。

7. 异角化同角：在处理不同角度的三角函数时，可以考虑将其转化为同一角度的三角函数。

8. 注意定义域：在解题时要注意三角函数的定义域，避免出现无意义的情况。

9. 注意值域：在求解最值问题时要注意三角函数的值域，避免出现超出值域的情况。

10. 注意周期性：在处理周期性问题时要注意三角函数的周期性，避免出现重复计算的情况。

通过掌握这些解题技巧和注意事项，可以提高解题效率和准确性。但最重要的是通过大量的练习来巩固和提高解题能力。建议读者在学习过程中多做练习，多总结经验，不断提高自己的解题能力。

三角函数是高考数学中的重要考点，需要掌握其核心知识点和解题方法。通过学习本文介绍的16个必考题型及其解题技巧，可以提高解题效率和准确性。但最重要的是通过大量的练习来巩固和提高解题能力。建议读者在学习过程中多做练习，多总结经验，不断提高自己的解题能力。