高等数学：极限（左右极限、连续与间断）

高等数学：极限（左右极限、连续与间断）

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/panda_aaa/article/details/138716059

极限理论是高等数学的重要组成部分，其中左右极限和连续性是理解函数行为的关键概念。本文将通过直观的比喻和严谨的数学定义，帮助读者深入理解这些抽象概念。

极限（左右极限、连续与间断）

一、左右极限

简言之，左右极限描述的是函数值朝着某个特定点趋近的过程。假设这个特定点为(a)，则：

• 从左侧趋近(a)的过程称为左极限
• 从右侧趋近(a)的过程称为右极限

1. 需要考虑左右极限的类型

（1）分段函数的分段点

当函数在某点处有不同的表达式时，需要分别考虑该点的左右极限。例如：

• 当(x \leq 0)时，函数为(e^{ax})
• 当(x > 0)时，函数为(b(1-x)^2)

（2）含有绝对值函数

绝对值函数在零点处通常需要考虑左右极限。

（3）其他

2. 结论

二、连续与间断

1. 连续

函数在某点(x_0)连续的定义是：在(x_0)的某个邻域内，函数的左极限等于右极限，且等于函数在该点的值。即：

[
\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)
]

2. 例题

（此处省略具体例题，但建议在实际教学或学习中结合具体题目进行练习，以加深理解。）