复数的物理意义详解：从旋转到欧拉公式

复数的物理意义详解：从旋转到欧拉公式

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/u011555996/article/details/137084952

对于复数，最直观的理解就是旋转。乘以虚数单位 (i)，就是旋转。虚数不是数，而是旋转量。

我们知道，(i) 的平方是 (-1)，那么 (2 \times i \times i = -2)，相当于在数轴上将 (2) 旋转了 (180^\circ)。也就是说，旋转两个 (i) 是 (180^\circ)。那么，旋转一个 (i) 呢？显然就是 (90^\circ)。也就是说，通过旋转，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴和虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称为复平面。

函数 (e^t) 的图像大家都能想象的出来。那么，如果是 (e) 的 (it) 次方呢？乘以 (i) 了是怎么旋转的呢？图像如下（注意：垂直往上的轴是时间轴）：

其中，螺旋线怎么形成的呢？看下图：

现在，就要引出欧拉公式了：

[e^{ix} = \cos x + i\sin x]

其中，当 (x = \pi) 时，

[e^{i\pi} + 1 = 0]

欧拉公式的关健作用，就是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们再来看上面的图，欧拉公式所描绘的，是一个随时间变化，在复平面上做圆周运动的点。随着时间的改变，在时间轴上就变成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线左侧的投影，就是基础的余弦函数。而右侧的投影，就是一个正弦函数。