如何理解偏导数与全微分(图文版)
如何理解偏导数与全微分(图文版)
偏导数与全微分是微积分中的重要概念，它们帮助我们理解多元函数在某一点附近的线性近似。本文通过图文结合的方式，详细解释了偏导数和全微分的概念及其计算方法。
1. 寻找曲面微分的思路
在《马同学图解微积分（上）》中，我们已经了解到线性近似是微积分的核心思想。对于一元函数，我们可以通过某直线来近似某曲线在某点及其附近的图像，这条直线称为该曲线在该点的微分或切线。同样地，对于二元函数，我们可以通过某平面来近似某曲面在某点及其附近的图像，这个平面称为该曲面在该点的全微分或切平面。
如果某曲面在某点的微分存在，那么：
- 该曲面微分必可近似曲面所包含的曲线
- 这些曲线的微分必包含在该曲面微分中
因此，我们可以通过以下步骤来寻找某曲面在某点的微分：
- 找到某曲面上方便计算的两条曲线
- 求出这两条曲线的微分
- 通过这两个微分计算出我们要寻找的平面，即某曲面在该点的微分
2. 偏微分
本节将完成两件事情：找到某曲面上方便计算的两条曲线，以及求出这两条曲线的微分。
这两根曲线在某点的微分，即下图中的两根黑色直线，分别被称为曲面在该点对x的偏微分和对y的偏微分，或笼统地称为曲面在该点的偏微分。
3. 偏导数
接下来的任务是求出上述的偏微分。以其中位于曲面上、过某点、平行于x轴的空间曲线为例，该空间曲线可以看作平面与曲面的交线。
该空间曲线的微分，即曲面在该点对x的偏微分，也在平面xy上。
根据单变量函数导数的定义，可以求出该空间曲线在某点的导数，这个导数也称为偏导数。
4. 偏微分的求解
有了偏导数后，结合单变量函数微分的定义，可以求出平面曲线在某点的微分。这个微分是在某点建立的坐标系中过原点的直线。
若在空间中的某点建立坐标系，将上述微分变换到该坐标系下，空间曲线在该点的微分，也就是曲面在该点对x的偏微分，这是在xy平面上的直线。
5. 全微分
本节将完成最后一件事情：根据两个微分求出曲面在某点的微分，或者说求出曲面在该点的全微分。
和位于曲面在某点的全微分上，其叉积是全微分的法向量。
根据叉积的定义，可以求出全微分的法向量。又因为该全微分会过坐标系的原点，所以可以根据平面的点法式方程，求出全微分的方程。
6. 小结
至此，我们求出了曲面的线性近似，也就是某曲面在某点的全微分。虽然涉及到多个坐标系，但通过本文的讲解，相信读者能够更好地理解这一复杂概念。