深入解析高斯过程：数学理论、重要概念和直观可视化全解
深入解析高斯过程：数学理论、重要概念和直观可视化全解
与其他算法相比，高斯过程不那么流行，但是如果你只有少量的数据，那么可以首先考虑使用高斯过程。在这篇文章中，我们将详细介绍高斯过程的数学理论，并通过可视化和Python实现来解释其核心概念。
多元高斯分布
多元高斯分布是理解高斯过程所必须的概念之一。让我们快速回顾一下。如果你已经熟悉多元高斯分布，可以跳过这一部分。
多元高斯分布是具有两个以上维度的高斯分布的联合概率。其概率密度函数如下：
[ p(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{D/2}|\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right) ]
其中，$\mathbf{x}$ 是具有 $D \times 1$ 维度的输入数据，$\boldsymbol{\mu}$ 是具有与 $\mathbf{x}$ 相同维度的均值向量，$\boldsymbol{\Sigma}$ 是具有 $D \times D$ 维度的协方差矩阵。
多元高斯分布具有以下重要特性：
- 多元高斯分布的边缘分布仍然遵循高斯分布。
- 多元高斯分布的条件分布仍然遵循高斯分布。
让我们通过可视化来检验这些概念。假设 $D$ 维数据遵循高斯分布。对于特性1，当我们将输入数据维度 $D$ 分为前 $L$ 维和其余的 $D-L=M$ 维时，我们可以如下描述高斯分布：
[ p(\mathbf{x}) = p(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2) = p(\mathbf{x}_1) p(\mathbf{x}_2 | \mathbf{x}_1) ]
那么，当我们对 $\mathbf{x}_1$ 的分布进行边缘化时，$\mathbf{x}_1$ 的概率分布可以写成：
根据公式（1），在进行边缘化时，我们可以取消其他变量。上图表展示了二维高斯分布的情况。边缘化分布映射到每个轴上；其形式是高斯分布。当我们根据一个轴切割多元高斯分布时，截面的分布仍然遵循高斯分布。
对于特征 2，我们使用相同的 $D$ 维多元高斯分布和两部分划分的输入数据 $\mathbf{x}_1$ 和 $\mathbf{x}_2$。多元高斯分布的条件概率可以写为：
上图显示了二维高斯分布（等高线）和条件高斯分布（虚线）。在每种条件下，高斯分布的形状是不同的。
线性回归与维度诅咒
在深入研究高斯过程之前，首先需要说明线性回归模型的一个主要缺点。高斯过程与这一概念密切相关，并能克服这个缺点。
让我们回顾一下线性回归模型。线性回归模型可以使用基函数 $\boldsymbol{\phi}(\mathbf{x})$ 灵活表达数据：
[ y = \mathbf{w}^T \boldsymbol{\phi}(\mathbf{x}) + \epsilon ]
对于基函数，我们可以使用非线性函数，例如多项式项或余弦函数。因此通过将非线性基函数应用于 $\mathbf{x}$，线性回归模型可以把握非线性关系。例如下图显示了使用径向基函数时的一个示例情况。
它能够把握复杂的数据结构。但我们仍然称之为线性回归模型，因为从参数 $\mathbf{w}$ 的角度看，这个方程仍然满足线性关系。我们也可以像多元线性回归一样推导参数。以下方程式是线性回归模型的矩阵和线性代数形式。我们假设有 $N$ 个数据点和 $p+1$ 个参数：
简化后：
[ \mathbf{w} = (\mathbf{\Phi}^T \mathbf{\Phi})^{-1} \mathbf{\Phi}^T \mathbf{y} ]
在将基函数应用于每个输入数据后，矩阵 $\mathbf{\Phi}$ 的值变成常数。这不是很像多元线性回归吗？实际上，参数的解析推导是相同的。
这里有一个陷阱，即线性回归模型在公式（4）中假设一个独立变量。因此当输入数据维度的数量增加时，参数的数量会呈指数级增长。如果我们增加基函数的数量，可以获得模型的灵活性，但计算量会不切实际地增加。这个问题被称为维度诅咒。有没有方法可以在不增加计算量的情况下提高模型的灵活性呢？可以应用高斯过程定理。下一节将介绍什么是高斯过程。
高斯过程的数学理论
上面已经看到，当参数数量增加时，线性回归模型存在维度诅咒问题。解决这个问题的方法是对参数进行期望处理，并创建一个不需要计算参数的情况。这是什么意思呢？继续上面的线性回归模型，公式如下：
[ y = \mathbf{w}^T \boldsymbol{\phi}(\mathbf{x}) + \epsilon ]
现在我们假设参数 $\mathbf{w}$ 遵循高斯分布，输出 $y$ 也将遵循高斯分布，因为矩阵 $\mathbf{\Phi}$ 只是一个常数值矩阵。我们假设参数遵循以下高斯分布：
[ p(\mathbf{w}) = \mathcal{N}(\mathbf{w} | \mathbf{0}, \sigma_w^2 \mathbf{I}) ]
可以计算出输出分布的参数如下：
[ p(\mathbf{y} | \mathbf{X}) = \mathcal{N}(\mathbf{y} | \mathbf{0}, \mathbf{\Phi} \mathbf{\Phi}^T) ]
可以通过取其期望来取消参数的计算。因此即使有无限多的参数，它们也不会影响计算。$\mathbf{x}$ 和 $y$ 之间的这种关系遵循高斯过程。高斯过程的定义是：
高斯过程是具有无限多参数的多元高斯分布。公式（7）指的是根据给定数据从高斯过程中得到的边缘高斯分布。它源于边缘元高斯分布仍然遵循高斯分布的特性。通过充分利用高斯过程，在考虑无限维度参数的同时构建模型。
这里还有一个问题，如何选择矩阵 $\mathbf{\Phi}$？当关注上述公式中的协方差矩阵部分并将其设置为 $\mathbf{K}$ 时，每个元素可以写成：
[ \mathbf{K}_{ij} = \sigma_f^2 \exp\left(-\frac{1}{2l^2}(\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j)^T (\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j)\right) ]
根据公式（9），协方差矩阵的每个元素都是 $\mathbf{\mu}(\mathbf{x}_i)$ 和 $\mathbf{\mu}(\mathbf{x}_j)$ 的内积的常数倍。由于内积类似于余弦相似性，当 $\mathbf{x}_i$ 和 $\mathbf{x}_j$ 相似时，公式（9）的值会变大。
为了满足协方差矩阵对称、正定且具有逆矩阵的特性，需要适当选择 $\mathbf{\mu}(\mathbf{x})$。为了实现这些特性，可以使用核函数来表示 $\mathbf{\mu}(\mathbf{x})$。
使用核函数的一个好处是，可以通过核函数获取 $\mathbf{\mu}(\mathbf{x})$ 的内积，而无需显式计算 $\mathbf{\mu}(\mathbf{x})$。这种技术被称为核技巧。下面我们总结一些最常用的核函数：
- 高斯核
- 线性核
- 周期核（又称exp - sin平方核）
上面的可视化展示了使用每个核函数对一维高斯过程的采样。可以看到相应的核函数的特征。
最后让我们回顾一下高斯过程。使用核函数，可以重新写定义为：
高斯过程回归
最后我们将高斯过程应用于回归。
如何对高斯过程模型进行拟合和推理
假设有 $N$ 个输入数据 $\mathbf{x}$ 和对应的输出数据 $\mathbf{y}$。
为简单起见我们对输入数据 $\mathbf{x}$ 应用归一化进行预处理，这意味着 $\mathbf{x}$ 的平均值为0。如果 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 的关系如下，$f$ 服从高斯过程：
[ f \sim \mathcal{GP}(0, k(\mathbf{x}, \mathbf{x}')) ]
所以输出 $\mathbf{y}$ 遵循以下多元高斯分布：
[ p(\mathbf{y} | \mathbf{X}) = \mathcal{N}(\mathbf{y} | \mathbf{0}, \mathbf{K} + \sigma_n^2 \mathbf{I}) ]
在拟合过程中，只需要通过核函数计算协方差矩阵，输出 $\mathbf{y}$ 分布的参数被确定为恰好为1。除了核函数的超参数外，高斯过程没有训练阶段。
在推理过程中，由于高斯过程没有像线性回归模型那样的权重参数，所以需要重新拟合（包括新数据）。但是可以利用多元高斯分布的特性来节省计算量。
设 $m$ 个新数据点。
新数据点的分布也遵循高斯分布，因此我们可以将其描述为：
[ p(\mathbf{y}* | \mathbf{X}, \mathbf{X}, \mathbf{y}) = \mathcal{N}(\mathbf{y}_ | \mathbf{K}{*}^T (\mathbf{K} + \sigma_n^2 \mathbf{I})^{-1} \mathbf{y}, \mathbf{K}{**} - \mathbf{K}{*}^T (\mathbf{K} + \sigma_n^2 \mathbf{I})^{-1} \mathbf{K}{*}) ]
还记得最前面的公式(2)，条件多元高斯分布的参数。
将此公式代入式(11)，得到的参数为：
[ \mathbf{y}* = \mathbf{K}{}^T (\mathbf{K} + \sigma_n^2 \mathbf{I})^{-1} \mathbf{y} ]
[ \mathbf{C}_{} = \mathbf{K}{**} - \mathbf{K}{}^T (\mathbf{K} + \sigma_n^2 \mathbf{I})^{-1} \mathbf{K}_{} ]
这是高斯过程回归模型的更新公式。当我们想要从中采样时，我们使用由Cholesky分解导出的下三角矩阵。
以上就是所有高斯过程的数学推导。但是在实际使用时不需要从头开始实现高斯过程回归，因为Python中已经有很好的库。
在将介绍如何使用Gpy库实现高斯过程。
高斯过程模型用于一维数据
我们将使用一个由带有高斯噪声的正弦函数生成的示例数据：
我们使用 RBF 核，因为它非常灵活且易于使用。我们使用GPy，只需几行代码就可以声明 RBF 核和高斯过程回归模型。
# RBF kernel
kernel = GPy.kern.RBF(input_dim=1, variance=1., lengthscale=1.)
# Gaussian process regression using RBF kernel
m = GPy.models.GPRegression(X, y, kernel)
上面的 $\mathbf{x}$ 点是输入数据，蓝色曲线表示该点的高斯过程回归模型的预期值，浅蓝色阴影区域表示 95% 的置信区间。
数据点较多的区域具有较窄的置信区间，而数据点较少的区域则具有较宽的区间。
多维数据的高斯过程模型
我们将使用scikit-learn中的糖尿病数据集。
# Load the diabetes dataset and create a dataframe
diabetes = datasets.load_diabetes()
df = pd.DataFrame(diabetes.data, columns=diabetes.feature_names)
这个数据集已经经过了预处理(归一化)，所以可以直接实现高斯过程回归模型。
# dataset
X = df[['age', 'sex', 'bmi', 'bp']].values
y = df[['target']].values
# set kernel
kernel = GPy.kern.RBF(input_dim=4, variance=1.0, lengthscale=1.0, ARD = True)
# create GPR model
m = GPy.models.GPRegression(X, y, kernel = kernel)
正如你所看到的，还有很大的改进空间。比如说更改内核的选择或超参数优化，或者收集更多的数据。
总结
本文讨论了高斯过程的数学理论和实际实现。当拥有少量数据时，这种技术是非常有帮助的。但是由于计算量取决于数据的数量，它不适合大数据。