无穷小量中的高阶、同阶无穷小与等价无穷小：概念与区别

无穷小量中的高阶、同阶无穷小与等价无穷小：概念与区别

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在数学分析中，无穷小量是一个核心概念，特别是在研究极限问题时。本文将详细解释无穷小量中的高阶、同阶无穷小和等价无穷小的概念，并探讨它们之间的区别与联系。

在数学分析中，无穷小量的概念非常重要，尤其是在研究极限问题时。无穷小量是指在某个点上趋近于0的量。其中，等价无穷小和同阶无穷小是两种常见的无穷小量类型。

如果在某一点上，两个无穷小量的比值的极限为非零常数c，即lim(b/a)=c≠0，则称这两个无穷小量为同阶无穷小。如果这个比值的极限为1，则称这两个无穷小量为等价无穷小。等价无穷小是一种特殊的同阶无穷小，其主要特性在于它们在趋近于零的过程中具有相同的趋向性。

同阶无穷小量的概念主要是用来比较两个无穷小量趋近于0的速度是否相仿。这意味着，当两个无穷小量趋近于0的速度相同时，它们可以被视为同阶无穷小量。这一概念在处理极限问题时非常有用，因为它可以帮助我们简化复杂函数的计算。

此外，还有其他一些关于无穷小量的基本性质。例如，有限个无穷小量的和仍然会是无穷小量；有限个无穷小量的积也仍然是无穷小量；有界函数与无穷小量的乘积同样是无穷小量。特别地，常数与无穷小量的乘积也是无穷小量。这些性质在处理极限问题时非常有用。

值得注意的是，恒不为零的无穷小量的倒数将趋向于无穷大，而无穷大的倒数将趋向于无穷小。这些性质在极限理论中有着重要的应用。