微积分入门：导数的几何意义与实际应用

微积分入门：导数的几何意义与实际应用

本文主要讲解了微积分中导数的几何意义，包括切线方程和法线方程的推导，以及导数在实际问题中的应用。通过具体的数学推导和实例，帮助读者理解导数的几何意义及其在物理、工程等领域的应用。

导数的几何意义

切线方程和法线方程

如图2·1，设曲线 C 是函数 y＝f(x) 的图象。在曲线 C 上取一点 P(x₀，y₀) 及点 P 邻近的任一点 Q(x₀＋△x，y₀＋△y)，过 P，Q 作割线，并作 MP⊥Ox，NQ⊥Ox，PR⊥NQ 。又设割线 PQ 的倾斜角为 β，那么

这就是说，△y／△x 就是割线 PQ 的斜率。

当点 Q 沿着曲线 C 无限地趋近于点 P，即 △x→0 时，割线 PQ 绕着点 P 转动，它的极限位置 PT 叫做曲线 C 在点 P 处的切线。这时如果函数 y＝f(x) 在点 x₀ 处可导，那么当 △x→0 时，△y／△x→f'(x₀)，面 tgβ 以 PT 的斜率 tgα（α 是 PT 的倾斜角）为极限，所以 f'(x₀)＝tgα 。

因此，函数 y＝f(x) 在点 x₀ 处的导数 f'(x₀) 的几何意义，就是曲线 y＝f(x) 在点 (x₀，f(x₀)) 处的切线的斜率。

这样，求曲线 y＝f(x) 在点 (x₀，f(x₀)) 处的切线，只要先求出函数 y＝f(x) 在点 x₀ 处的导数 f'(x₀)，然后根据直线方程的点斜式，就得到切线的方程 y－y₀＝f'(x)(x－x₀)，这里 y₀＝f(x₀)，下同。

当 α＝π/2 时，导数不存在，这时切线 PT 平行于 y 轴，切线的方程为 x＝x₀ 。

经过点 P 且和切线 PT 垂直的直线叫做曲线 C 在点 P 处的法线。由解析几何得知，如果两条有斜率的直线互相垂直，那么，它们的斜率互为负倒数。已知曲线 y＝f(x) 在点 (x₀，f(x₀)) 处的切线的斜率为 f'(x₀)，那么，当 f'(x₀)≠0 时，曲线在该点处的法线的斜率为－1／f'(x₀)，法线的方程为

当 f'(x₀)＝0 时，法线平行于 y 轴，法线的方程为 x＝x₀ 。

当切线 PT 平行于 y 轴时，法线平行于 x 轴，这时法线的方程为 y＝y₀ 。

例. 已知曲线 y＝(1/3)x³ 上一点 P(2，8/3) 。求：

(1) 过 P 点的切线的斜率；

(2) 过 P 点的切线的方程；

(3) 过 P 点的法线的方程。

【解】

(1) ∴ 在点 P 处的切线的斜率等于 4 。

(2) 在点 P 处的切线的方程为 y－8/3＝4(x－2)，

即 12x－3y－16＝0 。

(3) 在点 P 处的法线的方程为 y－8/3＝－(1/4)(x－2)，

即 3x＋12y－38＝0 。

图形如图2·2 。

练习

1、求抛物线 y＝4x－x² 在点 A(4，0) 和点 B(2，4) 处的

(1) 切线的斜率；

(2)切线的方程。

2、求等边双曲线 y＝9/x 在点 M(3，3) 处的切线的斜率与倾斜角。

3、求抛物线 y＝x²＋2 在点 M(2，6) 处的切线方程和法线方程。

变化率举例

我们知道，函数 y＝f(x) 的导数 f'(x) 就是函数对自变量 x 的变化率，因此，很多非均匀变化的变化率问题都可以应用导数来研究。为了更好地理解和应用导数概念，我们再举几个非均匀变化的变化率的例子。

例1. 瞬时功率

已知物体所作的功 W 是时间 t 的函数：W＝W(t) 。求在时刻 t＝t₀ 的功率。

【分析】功率表示作功的效率，物体在某段时间内所作的功 △W 和这段时间 △t 的比 △W／△t，就是这段时间内的（平均）功率。如果物体所作的功随时间增加而均匀改变，这个比是个常数，这个常数就是任一时刻的功率。但是，如果物体作功随时间的变化是非均匀的，那么，△W／△t 只表示某段时间内的平均功率。因此，要求任一时刻 t₀ 的功率，就是求 [t₀，t₀＋△t] 内的平均功率 △W／△t 当 △t→0 时的极限——瞬时功率。

【解】已知物体从 0 到 t 这段时间内所作的功是 W＝W(t)，那么，从时刻 t₀ 到 t₀＋△t 这段时间内物体所作的功（即功的改变量）为 △W＝W(t₀＋△t)－W(t₀) 。它和完成这些功所用时间（即时间改变量）△t 的比

就是 t₀ 到 t₀＋△t 这段时间内的平均功率。当 △t→0 时，平均功率的极限

就是在时刻 t₀ 的瞬时功率。因此，功率 P 是功 W 对时间 t 的导数，即 P＝W'(t) 。

例2. 瞬时电流强度

设有一随时间而变化的电流，从 0 到 t 这段时间内通过导线横截面的电量为 q＝q(t) 。求在时刻 t₀ 时导线中的电流强度。

【分析】电流强度表示电流的强弱，在某段时间内通过导线横截面的电量 △q 和这段时间 △t 的比 △q／△t，就是就是这段时间内的电流强度。如果给出的电流是稳恒电流，比 △q／△t 是一个常数，这个常数就是任一时刻的电流强度。但是，如果电路中电流的强弱是变化的，那么，△q／△t 只表示某段时间内的平均电流强度。因此，要求在时刻 t₀ 的电流强度，就是求 [t₀，t₀＋△t] 内的平均电流强度 △q／△t 当 △t→0 时的极限——瞬时电流强度。

【解】已知从 0 到 t 这段时间内通过导线横截面的电量为 q(t)，那么，从时刻 t₀ 到 t₀＋△t 这段时间内通过导线横截面的电量为 △q＝q(t₀＋△t)－q(t₀)，这段时间内的平均电流强度为

。当 △t→0 时，平均电流强度的极限

就是在时刻 t₀ 的电流强度。因此，电流强度Ⅰ是电量 q 对时间 t 的导数，即Ⅰ＝q'(t) 。

练习

1、在匀速圆周运动中，连结运动质点和圆心的半径转过的角度和所用时间的比值，叫做匀速圆周运动的角速度。现有一质点作变速圆周运动，已知在时刻 t 连结运动质点和圆心的半径转过的角度为 φ(t)，求它在时刻 t₀ 的角速度 ω₀ 。

2、某物质在一个化学反应中的浓度 C 与反应开始后的时间 t 之间的函数关系为 C＝C(t)，写出 t＝a 时浓度的变化率。

3、求导数的方法适用不适用于求均匀变化的量的变化率？这时，平均变化率和瞬时变化率有什么关系？试加说明。