戈特弗里德·威廉·莱布尼茨：《易经》如何启发了他的二进制
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨：《易经》如何启发了他的二进制
导读：17世纪的哲学家和数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨发展了至今仍在使用的二进制数字系统，而他的灵感来源之一竟是中国古老的《易经》。本文将探讨这位伟大思想家如何从《易经》的卦象中获得启发，进而开创了现代计算机语言的基础。
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尽管戈特弗里德·威廉·莱布尼茨的工作影响了数世纪的科技创新，但他的灵感来源包括中国哲学以及早在公元前1000年就已记录的占卜手册。
这位17世纪的哲学家和数学家发展了至今仍在使用的二进制数字系统，但他在编写二进制代码时的方式直接引用了9世纪占卜手册《易经》中的卦象和宇宙论思想。
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莱布尼茨的哲学著作专注于理性主义思想，同时也考虑信仰问题，这在17世纪的哲学家中很常见。他被视为第一批采纳传统中国哲学思想的西方知识分子之一，这在一定程度上得益于他与在中国的基督教传教士的个人友谊。他发表了自己对新儒学的解读，认为欧洲应该采纳儒家的伦理传统。后来的历史学家将莱布尼茨的《单子论》——他最著名的作品，提出宇宙由无数简单物质构成的理论——与早期儒家思想联系起来。
然而，莱布尼茨对东方哲学的研究延伸到了更早的思想时期，他撰写了大量关于9世纪占卜手册《易经》的文章。该手册归功于伏羲，在中国西周时期首次编纂，提供了宇宙学地图和哲学思想。莱布尼茨写到自己对该手册的着迷，并指出著作中的卦象与二进制数字从000000到111111相对应，认为其作者在数学方面远比莱布尼茨的同时代人所认为的要先进得多。
在一篇简洁标题为“二进制算术的解释，该算术仅使用字符1和0，并附带一些关于其有用性的备注，以及它对古代中国伏羲图的启示”的著作中，莱布尼茨探讨了《易经》的二进制代码，以阴和阳表示。他认为所有物质都可以用二进制序列，即1和0来表示，或者用古代文献中的表达方式——阴和阳，这两个词被他认定为代表极性抽象概念的术语。
根据莱布尼茨的理论，《易经》在其六十四卦的形成中使用了复杂的二进制代码。阴用断线表示，而阳则用不断线表示。这些线条以三条为一组，形成八个三元组，这些三元组结合在一起生成64个卦象，或称更大物质的形式。
通过在古代著作中看到二进制表示，莱布尼茨受到启发，继续他自己关于二进制系统的写作。这反过来成为了现代计算机使用的语言，从而将一部5000年前的著作与数字时代的形成联系在一起。
莱布尼茨谈数字系统
本章研究了戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716年）在各种数字系统方面的开创性工作，特别是他在1670年代中后期独立发明的二进制和他在1679年发明的十六进制。本章以谁可能影响了莱布尼茨发明二进制的经常争论的问题开始，尽管由于所提出的候选人都不可信，我提出了一个不同的假设，即莱布尼茨最初开发了二进制符号作为一种工具，以帮助他研究当时困扰他的数学问题，即那些关于合数整除性的问题。原初数和完美数。然后，本章探讨了莱布尼茨对二进制的发展，他在二进制分数和扩展方面鲜为人知的工作，他在哲学神学中使用二进制作为创造的符号，以及他对二进制计数与中国古代占卜文本《易经》的卦之间存在相关性的说法的回应。然后，本章重点介绍了莱布尼茨在其他数字系统方面的工作，特别是他对十六进制的发明和探索以及他在十二进制方面的工作。本章的结尾揭示了莱布尼茨在他生命的最后一年设计的一个迄今为止未知的二进制实际应用。
笔记
- 参见Couturat（1901，473）；Zacher（1973，9-33）；Tropfke（1980，12）；和Ingaliso（2017，111-112）。
- 在1711年，在发明二进制几十年后，仅在其去世前五年，莱布尼茨写道：“关于卡拉缪尔的《双倍数学》[旧版]和新版，他索要十塔勒，我无法很好地判断，因为我还没有看到它，我担心它可能包含空洞的诡辩，这对卡拉缪尔来说并不罕见。”
- 这项工作于1678年2月发表了他在数学领域的第一篇出版物，即一篇简短的期刊文章“关于测试数字是否为素数的方法的新观察”；参见莱布尼茨1678。有关莱布尼茨关于素数的工作的详细信息，请参见Mahnke（1912-1913）。
- 在1680年9月12日写的题为“Formarum reductio ad simplices”的手稿中：“因此，如果z是素数，那么2z-1-1将能被z整除”（LH 35，3 A 4 Bl. 14r）。在这些研究中，莱布尼茨还瞥见了威尔逊定理：（n-2）！≡1（mod n），或者用莱布尼茨的话来说：“连续[整数]的乘积直到给定整数前面的数字，当除以给定整数时，如果给定整数是素数，则留下1。如果给定的整数是导数，它将留下一个数字，因为它与给定的整数有共同的度量，所以大于1”（LH 35 3 B 11 Bl. 21r）。然而，在测试他对定理的表达时，莱布尼茨犯了一个错误的计算，导致他在“leaves 1”之后添加了错误的陈述“（或1的补语）”。
- 在1679年的一份稍晚的手稿（LH 35, 8, 30 Bl. 148）中，莱布尼茨再次使用二进制记数法来说明他（仍不成熟的）素数定理的公式，即2n-1 2n-12n-1：“设A = 111111 A = 111111A=111111，B = 1111 B = 1111B=1111，C = 111 C = 111C=111，D = 11 D = 11D=11。E = A F E = AFE=AF，F = A G F = AGF=AG。现在A AA和B BB彼此互素，因为它们的指数是这样的，即它们的指标，或者说是数字2和3。因此A AA和B BB并非彼此互素，必然会变成A = A H A = AHA=AHandB = A I B = AIB=AI，并且会变成J = A K J = AKJ=AK。如果Z ZZ是素数，那么Z z - 1 Zz - 1Zz-1能被Z ZZ整除，我如下证明这一点：22 - 1 22 - 122-1能被3整除，24 - 1 24 - 124-1能被5整除，所以1111能被5整除，11能被3整除，111111能被7整除。但是11111不能被6整除，因为既然11能被3整除，11111和11有一个公因数，但它们彼此互素。因此，我们有了所寻求的素数的互反性质的证明。”
- 欧几里得，《元素》，IX.36。也就是说，如果p pp是正整数，2 p - 1 2p - 12p-1是素数，则2 p - 1 ( 2 p - 1 ) 2p-1 (2p - 1)2p-1(2p-1)是完美的。
- 也许正因为如此，在另一篇可能写于1678年的关于该主题的手稿中，莱布尼茨试图使用二进制计数和基于此的代数的混合来证明完美数（与泡利代数无关），最终得出结论“如果2 z + 1 - 1 2z+1 - 12z+1-1是素数，则2 2 z + 1 - 2 z 2^{2z+1} - 2^z22z+1-2z将是一个完美数。同样，如果z zz是素数，2 z - 1 - 1 2^{z-1} - 12z-1-1将能被z zz整除”（LH 35，3 B 17 Bl. 1）。
- 莱布尼茨明确承认这些特征，至少在1680年代以后是这样。例如：“一个双几何级数的最后几位数字可以很容易地得到，就像这样：如果从中减去1，那么它就用二进制写成：etc.1111111，即1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 321+2+4+8+16+32等。（LH 35，3 B 11 Bl. 10r;参见LH 35，8，30 Bl. 75;LH 35，13，3 Bl. 33;LH 35，15，5 Bl. 10r;和LH 35，3 B 5 Bl. 51r）。
- 在其他手稿中也可以找到类似的表格，例如LH 35，4，11 Bl. 10r，尽管这可能是在1681年写成的。
- 另一篇这方面的著作印在Strickland和Lewis（2022，41-43）中。
- 莱布尼茨没有为它们贴上日期，而且论文中没有可用于确定日期的水印，因此必须使用内部证据来确定它们的日期。
- 莱布尼茨在一份关于构建通用语言的手稿中还提到了“二进制级数，其中只有1和0表示数字”，暂定日期为1678年2月（A VI 4,68）。
- Strickland和Lewis（2022，40n2）概述了第三个。
- 尽管在一篇早期的文章中，他惊呼二元将“对于非整体或理性的可表达量的周期性进展来说是非凡的”（斯特里克兰和刘易斯2022,32）。
- 有关莱布尼茨在圆公式的二进制表达式方面的工作的更多详细信息，请参见Strickland（2023a）。
- “此外：”毫无疑问，界限或限制是生物的本质，但限制是私有的，包括对进一步进步的否认。莱布尼茨（2006，38），参见A I 15，369;莱布尼茨（2006，102-103）;和斯特里克兰（2014，22）。
- 或正如他在可能写于1695年或1702年的手稿中所说的那样，“事物是从上帝的主动力量中教育的——正如朱利叶斯·斯卡利格（Julius Scaliger）所说——而不是从被动的虚无中。我发明的0和1的数字组合将很好地支持这一学说”（LH 4，3，5e Bl. 5）。参见Scaliger（1557，fols. 16-17）。
- 十多年后，当莱布尼茨确实来写《神论》时，二元创造的类比并没有被提及。《神论》于1710年出版。请参阅Leibniz（1985）。
- 除了已经提到的两个卦序列之外，还有其他的卦序列，例如八宫序列，它早于伏羲序列。这些序列引发了对它们的结构、相互关系和历史的许多研究，尽管这些问题超出了本章的范围。
- 有关布韦假说和莱布尼茨对此的反应的更多信息，请参阅Kempe（2022，141-174）。
- 有关16进制的历史以及莱布尼茨在其中的地位的更多信息，请参阅Strickland和Jones（2023）。
- 100000到186u016的相同转换也出现在同时代的文本中：LH 35，8，30 Bl. 148r。
- 莱布尼茨可能想到了1636年施文特的Deliciae physico-mathematicae[物理数学的魅力]，该书在1651年和1653年由乔治·菲利普·哈斯多夫（Georg Philipp Harsdörffer，1607-1658年）在他去世后进行了修订和扩展。然而，据我所知，在这些作品中都没有提到duodecimal，更不用说任何关于任何人认可它的报告了。
- 莱布尼茨实际上写了“1728”，但这显然是一个错误，因为他的例子使用了1712年。
- 在这个例子之后，莱布尼茨转向四元系统，有效地勾勒出将十进制值1712转换为1223004（LBr 705 Bl. 93r）所需的步骤。然后，他对binary执行相同的操作，然后转向binary中列的周期性。
- 有关莱布尼茨的触觉二进制时钟的更多详细信息，以及手稿的英文翻译，请参见Strickland（2023b）。
- 莱布尼茨本人在1670年代中期设计了一款弹簧驱动怀表，并在四十年后继续改进它;参见莱布尼茨1675年和LH 38 Bl. 274-275。
参考文献
- Bacon F（1623）De dignitate et augmentis scientiarum，libri IX。Haviland，London
- Caramuel y Lobkowitz，Juan（1670）Mathesis biceps，vetus et nova。Annison，Campagna
- Couturat L（1901）La logique de Leibniz。Félix Alcan，Paris
- Dangicourt P（1710）De periodis columnarum in serie numerorum progressionis arithmeticae dyadice expressorum。Miscellanea Berolinensia 1：336-376
- Glaser A（1981）History of binary and other nondecimal numeration，2nd edn。Tomash，Los Angeles
- Harsdörffer GP（1651）Delitiae mathematicae et physicae der Mathematischen und Philosophischen Erquickstunden。Zweiter Theil。Dümler，Nuremberg
- Harsdörffer GP（1653）Delitiae mathematicae et physicae der Mathematischen und Philosophischen Erquickstunden。Dritter Theil。Endters，Nuremberg
- Hill TW（1860）Selections from the papers of the Late Thomas Wright Hill，Esq。F.R.A.S。John W。Parker and Son，London
- Hochstetter E（1966）Herrn von Leibniz’ Rechnung mit Null und Eins。Siemens，Berlin
- Ineichen R（2008）Leibniz，Caramuel，Harr