概率加法公式详解

概率加法公式详解

概率加法公式是概率论中的一个重要概念，它帮助我们计算两个或多个事件至少有一个发生的概率。无论是互斥事件还是非互斥事件，都有相应的概率加法公式可以应用。通过本文的学习，你将掌握概率加法公式的原理和具体应用方法。

两个互斥事件的概率加法公式

事件作为集合经过并、交、差和补的运算后得到的结果还是事件，于是可以计算经过运算后的事件的概率。

首先我们来学习 两个互斥事件的概率加法公式 ．

如图 5．2－2，将仅颜色不同而大小质地相同的 7 个红球， 2 个绿球， 1 个黄球放人一个盒子中．现从中任取一球，记事件 $A=$＂取出一个球是红球＂，事件 $B=$＂取出一个球是绿球＂，事件 $C=$＂取出一个球是红球或绿球＂．

由前面的知识可知，事件 $A,B$ 互斥，且事件 $C=A\cup B$ ．

由于样本空间 $\mathrm{\Omega }$ 有 10 个样本点，$A$ 和 $B$ 分别有 7 个样本点和 2 个样本点，因此

$P\left(A\right)=\frac{7}{10},\phantom{\rule{1em}{0ex}}P\left(B\right)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$

由于 $A\cup B$ 也是事件，含有 9 个样本点，所以

$P\left(A\cup B\right)=\frac{9}{10}=\frac{7}{10}+\frac{1}{5}=P\left(A\right)+P\left(B\right)$

由此可以猜测，对于两个互斥事件，有如下概率加法公式：

如果 $\mathrm{\Omega }$ 中的事件 $A,B$ 互斥，则

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$

下面，我们来证明上述公式．

设 $\mathrm{\Omega }$ 有 $n$ 个样本点，$A$ 有 $m\left(m⩽n\right)$ 个样本点，$B$ 有 $k\left(k⩽n-m\right)$ 个样本点，则

$P\left(A\right)=\frac{m}{n},P\left(B\right)=\frac{k}{n}$

由于 $A,B$ 互斥，所以

$A\cup B$ 中样本点个数 $=A$ 中样本点个数 $+B$ 中样本点个数 $=m+k$ ．

于是得到

$P\left(A\cup B\right)=\frac{m+k}{n}=\frac{m}{n}+\frac{k}{n}=P\left(A\right)+P\left(B\right).$

我们把概率加法公式反映的性质称为概率的可加性，可加的前提是两个事件互斥

我们还可以将两个互斥事件的概率加法公式进行推广．

如果事件 ${A}_{1},{A}_{2},{A}_{3},\cdots ,{A}_{n}$ 两两互斥，那么事件 ${A}_{1}\cup {A}_{2}\cup {A}_{3}\cup \cdots \cup {A}_{n}$ 发生 （是指 ${A}_{1},{A}_{2},{A}_{3},\cdots ,{A}_{n}$ 中至少有一个发生）的概率，等于这 $n$ 个事件的概率的和，即

$P\left({A}_{1}\cup {A}_{2}\cup \cdots \cup {A}_{n}\right)=P\left({A}_{1}\right)+P\left({A}_{2}\right)+\cdots +P\left({A}_{n}\right).$

对于对立事件 $A$ 与 $\overline{A}$ ，从集合的角度看，由事件 $\overline{A}$ 所含样本点组成的集合是全集 $\mathrm{\Omega }$ 中的事件 $A$ 所含样本点组成的集合的补集。因此，对于对立事件，其概率之间有如下关系：

如果 $A$ 是样本空间 $\mathrm{\Omega }$ 的事件，则

$P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)$

例1例 3 若从一副 52 张扑克牌（不含大小王）中随机抽取一张，则事件 $A=$＂取到红桃＂的概率为 $\frac{1}{4}$ ，事件 $B=$＂取到方块＂的概率为 $\frac{1}{4}$ ，试求：

（1）事件 $C=$＂取到红色牌＂的概率；

（2）事件 $D=$＂取到黑色牌＂的概率．

分析 一副扑克牌由红色牌与黑色牌组成，其中红色牌包括＂红桃＂与＂方块＂。易知事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，且事件 $C=A\cup B$ ，因而可用互斥事件的概率加法公式求得事件 $C$ 的概率．而事件 $D$ 与事件 $C$ 是对立事件，因此可运用对立事件的概率间关系式求得 $P\left(D\right)$ ．

解（1）由于事件 $A,B$ 互斥，且事件 $C=A\cup B$ ，

因此 $P\left(C\right)=P\left(A\cup B\right)$

$\begin{array}{rl}& =P\left(A\right)+P\left(B\right)\\ & =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.\end{array}$

（2）由于事件 $D$ 与事件 $C$ 是对立事件，

因此 $P\left(D\right)=1-P\left(C\right)$

$=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$

本例表明，在求某些较复杂事件的概率时，可将所求事件的概率化为一组互斥事件的概率的和，也可求此事件的对立事件的概率。

例2某射箭运动员在一次射箭中命中 9 环的概率是 0.28 ，命中 8 环的概率是 0.19 ，不够 8环的概率是 0.29 ，计算这名射箭运动员在一次射箭中命中 9 环或 10 环（最高环数）的概率。

解 将该射箭运动员在一次射箭中＂命中 10环或 9 环＂记为事件 $A$ ，将其＂命中 10 环＂＂命中 9 环＂＂命中 8 环＂＂命中不够 8 环＂分别记为事件 $B,C,D,E$ ，则 $P\left(C\right)=0.28,P\left(D\right)=0.19,P\left(E\right)=0.29$ 。

因为事件 $C,D,E$ 彼此互斥，

所以

$\begin{array}{rl}P\left(C\cup D\cup E\right)& =P\left(C\right)+P\left(D\right)+P\left(E\right)\\ & =0.28+0.19+0.29\\ & =0.76\end{array}$

又因为事件 $B$ 与事件 $C\cup D\cup E$ 为对立事件，故

$\begin{array}{rl}P\left(B\right)& =1-P\left(C\cup D\cup E\right)\\ & =1-0.76\\ & =0.24\end{array}$

而事件 $B$ 与事件 $C$ 互斥，且 $A=B\cup C$ ，

因此

$\begin{array}{rl}P\left(A\right)& =P\left(B\cup C\right)\\ & =P\left(B\right)+P\left(C\right)\\ & =0.24+0.28\\ & =0.52.\end{array}$

故这名射箭运动员在一次射箭中命中 9 环或 10 环的概率为 0.52 ．

一般概率加法公式

我们已经知道，若 $\mathrm{\Omega }$ 中的事件 $A,B$ 互斥，则有 $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$ ．如果 $\mathrm{\Omega }$ 中的事件 $A,B$ 不互斥，那么 $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$ 仍然成立吗？怎样求它们的和的概率呢？

先看一个具体实例。

同时拋郑两枚质地均匀的骰子，其中一枚为红色，一枚为蓝色．记事件 $A=$ ＂红骰子点数等于 $6"$ ，事件 $B=$＂蓝骰子点数等于 6 ＂，下面计算事件 $A\cup B=$＂至少有一枚骰子点数等于 6 ＂的概率。

用 $\left(i,j\right)$ 表示红骰子的点数是 $i$ ，蓝骰子的点数是 $j$ ，则样本空间 $\mathrm{\Omega }$ 有 36 个样本点．

而事件 $A=\left\{\left(6,1\right),\left(6,2\right),\left(6,3\right),\left(6,4\right),\left(6,5\right),\left(6,6\right)\right\}$ ，共包含 6个样本点，

事件 $B=\left\{\left(1,6\right),\left(2,6\right),\left(3,6\right),\left(4,6\right),\left(5,6\right),\left(6,6\right)\right\}$ ，也包含 6 个样本点，

事件 $A\cup B=\left\{\left(6,1\right),\left(6,2\right),\left(6,3\right),\left(6,4\right),\left(6,5\right),\left(6,6\right),\left(1,6\right)$ ， $\left(2,6\right),\left(3,6\right),\left(4,6\right),\left(5,6\right)\right\}$ ，共包含 11 个样本点．

由古典概型概率计算公式可得

$P\left(A\right)=\frac{6}{36},P\left(B\right)=\frac{6}{36},P\left(A\cup B\right)=\frac{11}{36}.$

此时可发现 $P\left(A\cup B\right)e P\left(A\right)+P\left(B\right)$ ．

分析事件 $A,B$ ，可以发现样本点 $\left(6,6\right)$ 在 $P\left(A\right)$ 与 $P\left(B\right)$ 中各算了一次，且 $A\cap$ $B=\left\{\left(6,6\right)\right\}$.

又 $P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{36}$ ，

这时可以发现 $P\left(A\cup B\right)=\frac{6}{36}+\frac{6}{36}-\frac{1}{36}=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$ ．

于是，我们猜测有如下一般概率加法公式：

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

我们在古典概型的情况下来推导上述加法公式。

设 $A,B$ 是 $\mathrm{\Omega }$ 中的两个事件（图5．2－3）．

由图 5．2－3 可以看出，$A\cup B$ 中的样本点个数等于 $A$ 中的样本点个数加上 $B$ 中的样本点个数，并减去 $A\cap B$ 中的样本点个数．

所以

$\begin{array}{rl}P\left(A\cup B\right)& =\frac{A\cup B\text{中的样本点个数}}{\mathrm{\Omega }\text{中的样本点个数}}\\ & =\frac{A\text{中的样本点个数}+B\text{中的样本点个数}-A\cap B\text{中的样本点个数}}{\mathrm{\Omega }\text{中的样本点个数}}\\ & =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right).\end{array}$

在一般概率加法公式中，若 $A\cap B=\varnothing$ ，即 $P\left(A\cap B\right)=0$ ，则有

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$

这就是说，互斥事件的概率加法公式是一般概率加法公式的特殊情形．

例3 从 $1,2,3,\cdots ,30$ 中任意选一个数，求这个数是偶数或能被 3 整除的概率。

解 设 $A=$＂选到偶数＂，$B=$＂选到能被 3 整除的数＂，则

$A=\left\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30\right\}$ ，共包含 15 个元素，

$B=\left\{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30\right\}$ ，共包含 10 个元素，

$A\cap B=\left\{6,12,18,24,30\right\}$ ，共包含 5 个元素，

因而

$P\left(A\right)=\frac{15}{30}=\frac{1}{2},P\left(B\right)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3},\phantom{\rule{1em}{0ex}}P\left(A\cap B\right)=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$

因此，这个数是偶数或能被 3 整除的概率为

$\begin{array}{rl}P\left(A\cup B\right)& =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\end{array}$