三角函数的概念、性质与基本关系

三角函数的概念、性质与基本关系

三角函数是高中数学的重要内容，也是高考的必考知识点。本文将从三角函数的概念出发，详细讲解其性质和基本关系，并通过例题帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、三角函数的概念

函数一般都是在坐标系中定义的，三角函数也一样。我们在定义“1弧度的角”时用到了单位圆，接下来的具体探究也会用到它。

首先在坐标系中做出一个单位圆，再做出一个任意角α（α∈R），这个角的终边与OP与单位圆相交于点P(x,y)，如下图所示。

可以发现，当角α唯一确定的时候，它的终边OP与单位圆交点P的坐标也是唯一确定的。点P的横坐标x，纵坐标y，都是角α的函数。

接下来，我们通过构造三角形来进一步理解三角函数的概念。过点P，作PA⊥x轴，交x轴于点A。

• 角α的正弦（sine）等于它的对边比斜边，即PA/OP。由于OP是1，所以角α的正弦就是P的纵坐标y。
• 角α的余弦（cosine）等于它的邻边比斜边，即OA/OP = OA。也就是点P的横坐标x。
• 角α的正切（tangent）等于它的对边比邻边，即PA/OA，或者说y/x。

在正切这里，情况稍微有一点特殊——如果分母（OA）是0怎么办？这种情况出现在α = π/2 + kπ (k ∈ Z)时。因此，正切函数的定义域需要排除这些情况。

综上，借助坐标系、单位圆和弧度制，三角函数的定义已经出来了：

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，记为：

现在，我们就已经完成了锐角三角函数的推广啦！现在是任意角的三角函数了哦！

二、三角函数的性质

首先放一个表格啦是三角函数的定义域和值域，定义域上面已经讲完了，值域还没讲，但是都先放在这里啦

通过上表的内容，可以求一些和三角函数相关的复合函数的定义域。

学完了三角函数的定义，接着来看看它的性质吧！

三、同角三角函数的基本关系

其实从三角函数的定义可以搞出很多东西的……比如，最简单的一个，sin α/cos α = tan α，直接通过定义得到的。

那sin和cos之间又有什么关系呢？还是用之前的图来看看。

这个图里，△OAP为直角三角形，OP是斜边，由勾股定理可得：(OA)^2+(PA)^2 = (OP)^2。

(OA)^2 = (cos α)^2 = cos^2α，同理 (PA)^2 = sin^2α。

(OP)^2 = 1，所以，sin^2α+cos^2α = 1。

由上两个公式可得，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。

利用这两个公式可以求出很多式子的值，也可以证明一些式子，练一个题目吧~

四、总结

以上就是本篇的全部内容啦！感谢你看到这里，希望这篇文章能帮助你更好地理解三角函数的概念和性质。如果你有任何问题或建议，欢迎随时交流讨论。