向量的内积外积与其几何意义

向量的内积外积与其几何意义

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/maizousidemao/article/details/105270862

向量的内积（点乘）和外积（叉乘）是线性代数中的重要概念，它们不仅在数学理论中占有重要地位，还在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。本文将详细介绍这两种运算的定义、计算方法及其几何意义，帮助读者建立直观的理解。

一、点乘（内积）

设有向量 (\vec{a} = (x_1, y_1)) 和 (\vec{b} = (x_2, y_2))，它们之间的夹角为 (\theta)，内积定义为：

[
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = x_1x_2 + y_1y_2
]

几何意义

1. 夹角：由 (\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta) 可知：

• 当内积 > 0 时，(\theta < 90^\circ)
• 当内积 < 0 时，(\theta > 90^\circ)
• 当内积 = 0 时，(\theta = 90^\circ)
  同时也可以计算 (\theta) 的值：(\theta = \arccos\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|})

2. 投影：(|\vec{a}|\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}) 表示 (\vec{a}) 在 (\vec{b}) 上的投影。

对偶性

[
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|(|\vec{b}|\cos\theta) = |\vec{b}|(|\vec{a}|\cos\theta)
]

• (|\vec{a}|(|\vec{b}|\cos\theta)) 的理解是 (\vec{a}) 的长度与 (\vec{b}) 在 (\vec{a}) 上的投影的乘积；
• (|\vec{b}|(|\vec{a}|\cos\theta)) 的理解是 (\vec{b}) 的长度与 (\vec{a}) 在 (\vec{b}) 上的投影的乘积；
• 而这两个是相等的。

二、叉乘（外积）

对于三维向量 (\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)) 和 (\vec{b} = (x_2, y_2, z_2))，叉乘定义为：

[
\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
x_1 & y_1 & z_1 \
x_2 & y_2 & z_2 \
\end{vmatrix}
]

几何意义

1. 如果不把 (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) 的具体值带入公式，而是写成 (\vec{a} \times \vec{b} = m\vec{i} + n\vec{j} + l\vec{k}) 的形式，向量 ((m, n, l)) 就是一个同时垂直 (\vec{a}) 和 (\vec{b}) 的向量，如下图：

2. 对于二维向量 (\vec{a} = (x_1, y_1)) 和 (\vec{b} = (x_2, y_2))，按照上面的公式得：

[
\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}
x_1 & y_1 \
x_2 & y_2 \
\end{vmatrix} = x_1y_2 - x_2y_1
]

设这个数值为 (m)，则：

• (|m| = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}|\sin\theta)（(\theta) 为 (\vec{a}) 和 (\vec{b}) 的夹角）
• (|m|) 也等于 (\vec{a}) 和 (\vec{b}) 构成的平行四边形的面积，如下图：

3. 判断向量的相对位置（顺逆时针）

设 (\vec{a}) 和 (\vec{b}) 如下图所示：

如果让 (\vec{a}) 以最小角度转到 (\vec{b}) 的方向，是顺时针还是逆时针呢？仍然是 (m = \vec{a} \times \vec{b} = x_1y_2 - x_2y_1)，

• 当 (m > 0)，(\vec{a}) 逆时针转到 (\vec{b}) 的角度 < 180°
• 当 (m < 0)，(\vec{a}) 逆时针转到 (\vec{b}) 的角度 > 180°
• 当 (m = 0)，(\vec{a}) 和 (\vec{b}) 共线

直观记忆如下图：

• (m > 0)，(\vec{b}) 在蓝色部分；
• (m < 0)，(\vec{b}) 在红色部分；
• (m = 0)，(\vec{b}) 在分界线上（与 (\vec{a}) 共线）。

三、扩展（坐标系引发的顺逆指针分不清事件）

我们平时默认的坐标系是这样的：

但有时候的坐标系是这样的（比如数字图像中）：

可以发现，同样的 (\vec{a} = (2, 1)) 转到 (\vec{b} = (1, 2))，在上面的坐标系中就是逆时针，而在下面的坐标系中就是顺时针，所以为了统一说明，定义了 “正旋转” ：从 x 轴旋转到 y 轴的方向。

所以，上面利用向量叉乘判断向量相对位置的性质描述应该为：

• 当 (m > 0)，(\vec{a}) 正旋转到 (\vec{b}) 的角度 < 180°
• 当 (m < 0)，(\vec{a}) 正旋转到 (\vec{b}) 的角度 > 180°
• 当 (m = 0)，(\vec{a}) 和 (\vec{b}) 共线。

而那张直观记忆图只在我们平时默认的坐标系中才成立。