利萨如图形的动态演示

利萨如图形的动态演示

利萨如图形（Lissajous curve）是一种展示两个相互垂直的简谐振动合成的图形，广泛应用于物理学和工程学领域。本文将通过动态演示和参数分析，帮助读者深入了解利萨如图形的性质和特点。

动态演示

下面的动态图像，可以用来展示任意频率比例的利萨如图形。

使用方法

点击按钮：Restart（重新启动）或 Pause（暂停）按钮以改变演示状态

在右侧的控件中填入参数：

• 两个振子的频率 $a, b $，比如 $a=2, b=3$
• 相位 $ \theta, \delta $，比如 $ \theta=\pi/2,\delta=0 $

参数的几何含义见这里

参数式

利萨如图形的参数方程式如下：

$$ x(t) = \sin(at+\theta), y(t) = \sin(bt + \delta) $$

几何含义为：有两个振子，振动方向相互垂直，振幅相等，振动频率分别为 $a$ 和 $b$，振子的瞬时位置为 $x(t), y(t)$，分别作为图形的横、纵坐标 $x$, $y$

式中的 $\theta$ 和 $\delta$ , 表示两个振子各自的初始相位。

利萨如图形的性质

上面参数式一节中的 $a$，$b$，$\theta$，$\delta$ 强烈影响着利萨如图形利萨如图形的形状，在上面的动态演示中可以通过控件来改变它们的值。

频率比

$a$ 与 $b$ 的比值 $a/b$ ，是决定利萨如图形状的首要因素， 强烈影响着利萨如图形的动态演示利萨如图形的形状。比如：

• 当 $a/b$ 为有理数时，图形曲线闭合
• 振动频率之比决定图形在$x$, $y$方向上的叶瓣的个数

比如，$a:b=1:3$ 时，得到的图形如
图中 $x$ 横轴方向上的叶瓣有1个，而 $y$ 纵轴方向上的叶瓣有3个

相位差

随着相位差 $\phi = \theta-\delta$ 的变化，图形看起来像在三维空间旋转的投影。下面观察几种参数组合的图形：

频率比 a/b 相位差 φ 利萨如图形形状

1:1 0° 直线

1:1 0°~90° 椭圆

1:1 90° 圆

a:b=1:1

最简单的情形，完全同相，$\phi=0$得到直线

$\phi= \pi/4$ 得到椭圆

$\phi= \pi/2$ 得到圆（从参数式看出，$\sin$ 函数移相 $\pi/2$ 得到 $\cos$，于是图形是圆 ）

（这一步是由两个振子得到圆，和正弦函数中、圆分解为两种振动的过程刚好相反）

当 $0 \le \phi \le 2\pi$ 时，图形的变化趋势如下图：

图形好像一个圆绕着圆柱旋转时，在屏幕上的投影。

有没有感觉像下面的旋转舞者？一会觉得是向左转，一会觉得是向右转。

a:b=1:2

如这里所讲，a 值决定 y轴 方向的叶瓣数量，b 值决定 x轴 方向的叶瓣数量。

$\phi=0$得到蝴蝶形状：

$\phi = \pi/4$得到单根曲线：

$\phi = \pi/2$又得到蝴蝶形状，不同的只是起始点位置：

当 $0 \le \phi \le 2\pi$ 时，图形的变化趋势如下图：

其他 a:b 值

本节展示多种频率比值条件下，相位差在 $0 \le \phi \le 2\pi$ 范围改变时图形的变化过程。

$$a:b=1:3$$

$$a:b=2:1$$

$$a:b=5:4$$

$$a:b=13:15$$