一元二次方程解题步骤该怎么解

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一元二次方程解题步骤该怎么解

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高三网

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一元二次方程是中考的重点内容，也是初中数学学习的重点，解一元二次方程是重要的应用，不管是直接开平方，还是配方法、公式法、因式分解法等等方法解方程，四种解法各有不同，不同的依据，不同的适用范围，都需要同学们重点掌握的，然后根据题目的实际情况，选择最佳的解题方法。

怎么解一元二次方程

直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如$(x-m)^2=n$ ($n≥0$)的方程，其解为$x=m±\sqrt{n}$。

例1：解方程（1）$(3x+1)^2+2=7$ （2）$9x^2-24x+16=11$

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式$(3x-4)^2$，右边$=11>0$，所以此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：$(3x+1)^2+2=7$

$\therefore(3x+1)^2=5$

$\therefore3x+1=±\sqrt{5}$ (注意不要丢解)

$\therefore x= -1±\sqrt{5}$

$\therefore$原方程的解为$x_1=-1+\sqrt{5}$，$x_2=-1-\sqrt{5}$

（2）解：$9x^2-24x+16=11$

$\therefore(3x-4)^2=11$

$\therefore3x-4=\sqrt{11}$

配方法：用配方法解方程$ax^2+bx+c=0$ ($a≠0$)

先将常数$c$移到方程右边：$ax^2+bx=-c$

将二次项系数化为1：$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 =-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$

方程左边成为一个完全平方式：$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

当$b^2-4ac≥0$时，$x+\frac{b}{2a}=±\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

$\therefore x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

这就是求根公式。

公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式$\Delta=b^2-4ac$的值，当$b^2-4ac≥0$时，把各项系数$a, b, c$的值代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$就可得到方程的根。
因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4：用因式分解法解下列方程：

(1) $(x+3)(x-6)=-8$

(2) $2x^2+3x=0$

(3) $6x^2+5x-50=0$ (选学）

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉$x=0$这个解，应记住一元二次方程有两个解。

一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。