作曲线运动时向心加速度跟轨迹曲率的关系

作曲线运动时向心加速度跟轨迹曲率的关系

当物体做曲线运动时，其向心加速度与轨迹的曲率之间存在怎样的关系？本文将从匀速圆周运动出发，逐步推导出一般曲线运动中向心加速度与曲率的关系，并结合导弹和战机的机动性能进行实际应用的解释。

当物体以速率v做匀速圆周运动时，向心加速度（也叫法向加速度）为

维持物体做匀速圆周运动需要提供的向心力为
若物体做一般的曲线运动，情况又是怎样呢？
根据微分几何中的曲线理论可得知，足够光滑的曲线每一点附近的曲线段都可以近似看成一段圆弧，对应的圆就是曲率圆或密切圆（曲率）。因此可以猜想对于一般的曲线运动，计算向心加速度时只需要将前面两式中的半径r看作曲率半径就行。由于曲率半径的倒数等于曲率，向心加速度还可以表示成
其中ρ为曲率。向心力则可以表示为
事实确实如此，只不过一般的曲线的曲率往往会随曲线上的位置变化，而不像圆周运动那样是恒定值。另外，一般的曲线运动通常还在切线方向有加速度，其值为
切向受力为
发射中的一对s-300导弹(图片来自Wikipedia)
发射中的RIM-162导弹(图片来自Wikipedia)
可以看出，向心加速度与运动轨迹的曲率和速率的平方成正比。对于导弹和战机，发动机能提供的最大向心加速度是衡量其机动性能的重要参数，因为在追踪目标或规避追踪时不仅需要有较快的速率，还需要能快速改变运动方向（急转弯）。也就是需要以较快的速率做曲率很大的曲线运动。性能好的导弹可以快速做出近乎垂直的转向。